R Language
Szeregi Fouriera i transformacje

Transformacja Fouriera rozkłada funkcję czasu (sygnał) na częstotliwości, które ją tworzą, podobnie jak sposób wyrażenia akordu muzycznego jako amplitudy (lub głośności) jego składowych nut. Transformacja Fouriera samej funkcji czasu jest funkcją o wartości zespolonej o częstotliwości, której wartość bezwzględna reprezentuje ilość tej częstotliwości występującej w funkcji pierwotnej, a której złożonym argumentem jest przesunięcie fazowe sinusoidy podstawowej w tej częstotliwości.

Transformacja Fouriera nazywana jest reprezentacją w dziedzinie częstotliwości oryginalnego sygnału. Termin „transformata Fouriera” dotyczy zarówno reprezentacji w dziedzinie częstotliwości, jak i operacji matematycznej, która wiąże reprezentację w dziedzinie częstotliwości z funkcją czasu. Transformacja Fouriera nie ogranicza się do funkcji czasu, ale aby mieć zunifikowany język, dziedzinę pierwotnej funkcji określa się powszechnie jako domenę czasu. Dla wielu praktycznych funkcji można zdefiniować operację, która to odwraca: odwrotna transformacja Fouriera, zwana także syntezą Fouriera, reprezentacji w dziedzinie częstotliwości łączy wkłady wszystkich różnych częstotliwości w celu odzyskania pierwotnej funkcji czasu.

Operacje liniowe wykonywane w jednej dziedzinie (czas lub częstotliwość) mają odpowiadające im operacje w drugiej domenie, które czasami są łatwiejsze do wykonania. Operacja różnicowania w dziedzinie czasu odpowiada pomnożeniu przez częstotliwość, więc niektóre równania różniczkowe są łatwiejsze do analizy w dziedzinie częstotliwości. Również splot w dziedzinie czasu odpowiada zwykłemu mnożeniu w dziedzinie częstotliwości. Konkretnie oznacza to, że każdy liniowy niezmienny czasowo system, taki jak filtr elektroniczny zastosowany do sygnału, można wyrazić stosunkowo prosto jako operację na częstotliwościach. Tak znaczne uproszczenie jest często osiągane przez przekształcanie funkcji czasu w dziedzinę częstotliwości, wykonywanie pożądanych operacji i przekształcanie wyniku z powrotem do czasu.

Analiza harmoniczna to systematyczne badanie związku między domenami częstotliwości i czasu, w tym rodzajów funkcji lub operacji, które są „prostsze” w jednym lub drugim i ma głębokie powiązania z prawie wszystkimi dziedzinami współczesnej matematyki.

Funkcje zlokalizowane w dziedzinie czasu mają transformaty Fouriera, które są rozłożone w dziedzinie częstotliwości i odwrotnie. Krytycznym przypadkiem jest funkcja Gaussa, mająca istotne znaczenie w teorii prawdopodobieństwa i statystyce, a także w badaniu zjawisk fizycznych wykazujących rozkład normalny (np. Dyfuzję), który przy odpowiedniej normalizacji przechodzi do siebie pod transformacją Fouriera. Joseph Fourier wprowadził transformację w swoich badaniach wymiany ciepła, w których funkcje Gaussa pojawiają się jako rozwiązania równania ciepła.

Transformata Fouriera może być formalnie zdefiniowana jako niewłaściwa całka Riemanna, co czyni ją transformacją całkową, chociaż ta definicja nie jest odpowiednia dla wielu aplikacji wymagających bardziej wyrafinowanej teorii integracji.

Na przykład wiele stosunkowo prostych aplikacji korzysta z funkcji delta Diraca, którą można formalnie traktować tak, jakby była funkcją, ale uzasadnienie wymaga matematycznie bardziej wyrafinowanego punktu widzenia. Transformację Fouriera można również uogólnić na funkcje kilku zmiennych w przestrzeni euklidesowej, wysyłając funkcję przestrzeni trójwymiarowej do funkcji pędu trójwymiarowego (lub funkcję przestrzeni i czasu do funkcji 4 pędu).

Pomysł ten sprawia, że przestrzenna transformacja Fouriera jest bardzo naturalna w badaniu fal, a także w mechanice kwantowej, gdzie ważna jest umiejętność przedstawiania rozwiązań falowych jako funkcji przestrzeni lub pędu, a czasem obu. Zasadniczo funkcje, do których mają zastosowanie metody Fouriera, są złożone, a być może również wektorowe. Możliwe jest jeszcze dalsze uogólnienie funkcji na grupach, które oprócz oryginalnej transformacji Fouriera na ℝ lub ℝn (postrzegane jako dodawane grupy), obejmują w szczególności dyskretną transformatę Fouriera (DTFT, grupa = ℤ), dyskretną transformatę Fouriera ( DFT, grupa = ℤ mod N) oraz szereg Fouriera lub okrągła transformata Fouriera (grupa = S1, okrąg jednostkowy ≈ zamknięty przedział skończony ze zidentyfikowanymi punktami końcowymi). Ten ostatni jest rutynowo wykorzystywany do obsługi funkcji okresowych. Szybka transformata Fouriera (FFT) jest algorytmem do obliczania DFT.