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푸리에 시리즈 및 변환
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푸리에 변환은 음악 코드가 구성 음의 진폭 (또는 음량)으로 표현 될 수있는 것과 유사하게 시간 (신호)의 함수를 그것을 만드는 주파수로 분해합니다. 시간 함수의 푸리에 변환은 주파수의 복소수 함수입니다. 절대 값은 원래 함수에있는 해당 주파수의 양을 나타내며 복소 인수는 해당 주파수의 기본 사인 곡선의 위상 오프셋입니다.
푸리에 변환은 원래 신호의 주파수 도메인 표현이라고합니다. 푸리에 변환이라는 용어는 주파수 도메인 표현과 주파수 도메인 표현을 시간 함수와 관련시키는 수학적 연산 모두를 의미합니다. 푸리에 변환은 시간의 함수에 국한되지 않지만, 통일 된 언어를 가지기 위해, 원래의 함수의 도메인은 일반적으로 시간 영역으로 불린다. 실질적인 관심의 많은 기능들에 대해, 이것을 역전시키는 동작을 정의 할 수있다 : 주파수 도메인 표현의 푸리에 합성 (Fourier synthesis)이라고도하는 역 푸리에 변환은 시간의 원래 함수를 복구하기 위해 모든 다른 주파수들의 기여를 결합한다.
하나의 도메인 (시간 또는 주파수)에서 수행 된 선형 작업은 다른 도메인에서 해당 작업을 수행하기 때문에 때로는 수행하기도 쉽습니다. 시간 영역에서의 미분 연산은 주파수에 의한 곱셈에 해당하므로 일부 미분 방정식은 주파수 영역에서 더 쉽게 분석 할 수 있습니다. 또한, 시간 영역에서의 컨볼 루션은 주파수 영역에서의 통상적 인 곱셈에 대응한다. 구체적으로 말하면 이것은 신호에 적용된 전자 필터와 같은 선형시 불변 시스템은 주파수에 대한 연산으로 상대적으로 간단하게 표현 될 수 있음을 의미합니다. 따라서 시간 기능을 주파수 영역으로 변환하고, 원하는 작업을 수행하며, 결과를 다시 변환함으로써 상당한 단순화를 달성 할 수 있습니다.
고조파 분석은 주파수와 시간 영역 사이의 관계를 체계적으로 연구하는 것으로 서로 또는보다 단순한 함수 또는 연산을 포함하며 현대 수학의 거의 모든 영역에 깊이 관련되어 있습니다.
시간 도메인에서 지역화 된 함수는 주파수 도메인에 걸쳐 분포 된 푸리에 변환을 가지며 그 반대로도 가능합니다. 중요한 경우는 확률 이론 및 통계에서 중요한 중요성을 갖는 가우시안 함수이며 정규 분포 (예 : 확산)를 나타내는 물리적 현상을 연구 할 때 적절한 표준화를 사용하면 푸리에 변환에 따른다. 조셉 푸리에 (Joseph Fourier)는 가우스 함수가 열 방정식의 해답으로 나타나는 열전달 연구에서 변형을 도입했습니다.
퓨리에 변환은 부적절한 리만 (Liemann) 적분으로 공식적으로 정의 될 수 있으며,이 정의는보다 정교한 통합 이론을 필요로하는 많은 애플리케이션에는 적합하지 않지만 정수 변환으로 만듭니다.
예를 들어, 비교적 단순한 많은 응용 프로그램은 Dirac 델타 함수를 사용합니다.이 함수는 마치 함수처럼 공식적으로 처리 할 수 있지만 수학적으로보다 정교한 관점이 필요합니다. 푸리에 변환은 또한 유클리드 공간에서 여러 변수의 함수로 일반화 될 수 있으며, 3 차원 공간의 함수를 3 차원 운동량 함수 (또는 공간 함수와 시간 함수를 4 - 운동량 함수로 보내는 함수)로 보낼 수 있습니다.
이 아이디어는 공간 푸리에 변환을 우주 파동이나 운동량 중 하나 또는 둘 다의 함수로 웨이브 솔루션을 표현할 수 있어야하는 양자 역학뿐만 아니라 파동 연구에서도 매우 자연스럽게 만듭니다. 일반적으로 Fourier 메서드를 적용 할 수있는 함수는 복소수이며 벡터 값을 가질 수 있습니다. 더 일반적으로는 ℝ 또는 ℝn (덧붙여 그룹으로 보임)의 원래 푸리에 변환 외에도 이산 푸리에 변환 (DTFT, 그룹 = ℤ), 이산 푸리에 변환 DFT, group = ℤ mod N) 및 푸리에 급수 또는 원형 푸리에 변환 (그룹 = S1, 종단점이 식별 된 폐쇄 된 유한 구간). 후자는 정기적 인 기능을 처리하기 위해 일상적으로 사용됩니다. 고속 푸리에 변환 (FFT)은 DFT를 계산하기위한 알고리즘입니다.
푸리에 시리즈
조셉 푸리에 (Joseph Fourier)는 모든주기적인 파동이 간단한 사인파의 합으로 표현 될 수 있음을 보여주었습니다. 이 합을 푸리에 급수라고합니다. 푸리에 시리즈는 시스템이 선형 일 때만 유지됩니다. 예를 들어 어느 정도의 입력이 주어 지더라도 출력이 동일하게 남아있는 임계 값 인 오버플로 효과가 있으면 비선형 효과가 사인 곡선 파와 중첩 원리를 위반하여 그림으로 들어가게됩니다.
# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)
wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)
또한 푸리에 급수는 파동이주기적인 경우에만 유지됩니다. 즉, 반복 패턴이 있습니다 (비주기 파는 푸리에 변환에 의해 처리됩니다, 아래 참조). 주기적 파동은 반복 패턴에 의해 정의되는 주파수 f와 파장 λ (파장은 사이클의 시작과 끝 사이의 매질에서의 거리, λ = v / f0, 여기서 v는 파동의 속도 임)를 갖는다. 비 주기적 파동에는 주파수 나 파장이 없습니다.
일부 개념 :
- 기본주기 T는 취해진 모든 표본의 기간, 첫 번째 표본과 마지막 표본 사이의 시간
- 샘플링 속도 (sr)는 일정 기간 동안 수집 된 샘플 수입니다 (수집주기라고도 함). 간단하게하기 위해 샘플 간의 시간 간격을 동일하게 만듭니다. 이 시간 간격을 샘플 간격 si라고하는데, 이는 기본주기 시간을 샘플 수 N으로 나눈 값입니다. 따라서 si = TN
- 기본 주파수 f0는 1T입니다. 기본 주파수는 반복 패턴의 주파수 또는 파장의 길이입니다. 이전의 파도에서, 기본 주파수는 12π이었다. 파 성분의 주파수는 기본 주파수의 정수배 여야합니다. f0는 1 차 고조파, 2 차 고조파는 2 * f0, 3 번째 고조파는 3 * f0 등입니다.
repeat.xs <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")
title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red");
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)
다음은 푸리에 급수가 주어진 궤적을 그리는 R 함수입니다.
plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) {
w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w))
plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)");
abline(h=0,lty=3)}