R Language
Серия Фурье и преобразования

Преобразование Фурье разлагает функцию времени (сигнала) на частоты, которые составляют ее, подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен как амплитуда (или громкость) его составляющих заметок. Преобразование Фурье функции самого времени представляет собой комплекснозначную функцию частоты, абсолютная величина которой представляет собой величину этой частоты, присутствующую в исходной функции, и сложным аргументом которой является смещение фазы основной синусоиды на этой частоте.

Преобразование Фурье называется представлением частотной области исходного сигнала. Термин преобразование Фурье относится как к представлению частотной области, так и к математической операции, которая связывает представление частотной области с функцией времени. Преобразование Фурье не ограничено функциями времени, но для того, чтобы иметь унифицированный язык, область исходной функции обычно называется временной областью. Для многих практических задач можно определить операцию, которая меняет это: обратное преобразование Фурье, также называемое синтезом Фурье, представления частотной области объединяет вклады всех разных частот для восстановления исходной функции времени.

Линейные операции, выполняемые в одном домене (время или частота), имеют соответствующие операции в другом домене, которые иногда легче выполнять. Операция дифференцирования во временной области соответствует умножению на частоту, поэтому некоторые дифференциальные уравнения легче анализировать в частотной области. Кроме того, свертка во временной области соответствует обычным умножениям в частотной области. Конкретно это означает, что любая линейная система, зависящая от времени, такая как электронный фильтр, применяемый к сигналу, может быть выражена относительно просто как операция на частотах. Поэтому значительное упрощение часто достигается путем преобразования временных функций в частотную область, выполнения желаемых операций и преобразования результата во времени.

Гармонический анализ - это систематическое исследование взаимосвязи между частотной и временной областями, в том числе виды функций или операций, которые «проще» в одном или другом, и имеют глубокие связи практически со всеми областями современной математики.

Функции, локализованные во временной области, имеют преобразования Фурье, которые распространяются по частотной области и наоборот. Критическим случаем является гауссова функция, имеющая существенное значение в теории вероятностей и статистике, а также при изучении физических явлений, имеющих нормальное распределение (например, диффузию), которое при соответствующих нормализациях переходит в себя при преобразовании Фурье. Джозеф Фурье представил преобразование в своем исследовании теплообмена, где гауссовы функции появляются как решения уравнения теплопроводности.

Преобразование Фурье может быть формально определено как несобственный интеграл Римана, что делает его интегральным преобразованием, хотя это определение не подходит для многих приложений, требующих более сложной теории интегрирования.

Например, многие относительно простые приложения используют дельта-функцию Дирака, которую можно рассматривать формально, как если бы это была функция, но для обоснования требуется математически более сложная точка зрения. Преобразование Фурье также может быть обобщено на функции нескольких переменных в евклидовом пространстве, посылая функцию 3-мерного пространства на функцию трехмерного импульса (или функцию пространства и времени на функцию 4-импульса).

Эта идея делает пространственное преобразование Фурье очень естественным в изучении волн, а также в квантовой механике, где важно иметь возможность представлять волновые решения либо как функции пространства, так и импульса, а иногда и то и другое. В общем случае функции, к которым применимы методы Фурье, являются комплекснозначными и, возможно, векторными. Еще одно обобщение возможно для функций на группах, которые, помимо исходного преобразования Фурье на ℝ или ℝn (рассматриваются как группы при добавлении), в частности включают в себя преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT, group = ℤ), дискретное преобразование Фурье ( DFT, group = ℤ mod N) и ряд Фурье или круговое преобразование Фурье (группа = S1, единичный круг ≈ замкнутый конечный интервал с идентифицированными оконечными точками). Последнее обычно используется для обработки периодических функций. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) является алгоритмом для вычисления ДПФ.