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フーリエ級数と変換
サーチ…
備考
フーリエ変換は、時間（信号）の関数を、その構成音の振幅（またはラウドネス）としてどのように表現できるかと同様に、それを構成する周波数に分解する。時間関数のフーリエ変換は周波数の複素値関数であり、その絶対値は元の関数内に存在する周波数の量を表し、複素数の引数はその周波数における基本正弦波の位相オフセットである。
フーリエ変換は元の信号の周波数領域表現と呼ばれます。フーリエ変換という用語は、周波数領域表現と周波数領域表現を時間関数に関連付ける数学的演算の両方を指す。フーリエ変換は時間の関数に限定されず、統一された言語を有するために、元の関数の領域は一般に時間領域と呼ばれる。実際の関心のある多くの機能に対して、これを逆転する動作を定義することができる。周波数領域表現のフーリエ合成とも呼ばれる逆フーリエ変換は、時間の元の関数を回復するために異なる周波数のすべての寄与を組み合わせる。
あるドメイン（時間または周波数）で実行される線形演算は、他のドメインで対応する演算を持ちますが、これは時には実行する方が簡単です。時間領域における微分の演算は周波数による乗算に対応するので、いくつかの微分方程式は周波数領域での分析が容易です。また、時間領域における畳み込みは、周波数領域における通常の乗算に対応する。具体的には、これは、信号に適用される電子フィルタのような任意の線形時間不変システムが、周波数上での演算として比較的簡単に表現され得ることを意味する。したがって、重要な単純化は、時間関数を周波数領域に変換し、所望の演算を実行し、その結果を時間に変換することによって達成されることが多い。
高調波解析は、周波数と時間領域の関係を系統的に研究することであり、近代的な数学のほぼすべての分野に深く関わっています。
時間領域において局在化された関数は、周波数領域にわたって広がっているフーリエ変換を有し、逆もまた同様である。臨界的事例は、確率理論と統計学における、また正規分布（例えば、拡散）を示す物理現象の研究において実質的に重要なガウス関数であり、適切な正規化によってフーリエ変換のもとに進む。 Joseph Fourierは熱伝達の研究で変換を導入しました。ここでガウス関数は熱方程式の解として現れます。
フーリエ変換は、正式なリーマン積分として正式に定義することができ、これを積分変換するが、この定義は、より洗練された積分理論を必要とする多くのアプリケーションには適していない。
例えば、多くの比較的単純なアプリケーションでは、関数であるかのように正式に扱うことができるDiracデルタ関数を使用しますが、正当化には数学的に洗練された観点が必要です。フーリエ変換はまた、ユークリッド空間上のいくつかの変数の関数に一般化することができ、3次元空間の関数を3次元運動量の関数（または4次元運動関数の空間および時間の関数）に送る。
この考え方は、波動の研究において空間的フーリエ変換を非常に自然なものにし、量子力学においても、空間的または運動量の関数として波の解を、また時にはその両方として波の解を表すことが重要である。一般に、フーリエ法が適用可能な関数は複素数であり、場合によってはベクトル値である。更に一般化することができるのは、グループ上の関数であり、ℝ又はℝn（加えてグループとして見られる）上の元のフーリエ変換に加えて、離散時間フーリエ変換（DTFT、グループ=ℤ）、離散フーリエ変換DFT、グループ=ℤmod N）とフーリエ級数または円形フーリエ変換（グループ= S1、単位円≈閉じた有限区間、終点が特定されている）。後者は、定期的な機能を処理するために日常的に採用されています。高速フーリエ変換（FFT）は、DFTを計算するためのアルゴリズムです。
フーリエ級数
ジョセフフーリエは、任意の周期波が単純な正弦波の和で表されることを示した。この合計はフーリエ級数と呼ばれます。フーリエ級数は、システムが線形である間のみ保持されます。いくらかの入力が与えられても出力が同じままであるような、あるオーバーフロー効果がある場合、非線形効果が画像に入り、正弦波および重畳原理を破る。
# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)
wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)
また、フーリエ級数は、波が周期的である場合にのみ保持され、すなわち、それらは繰り返しパターンを有する（周期的でない波はフーリエ変換によって処理される、下記参照）。周期的な波は、繰返しパターンによって定義される周波数fと波長λ（周期は、周期の始めと終わりの間の媒質中の距離であり、λ= v / f0であり、vは波の速度である）を有する。非周期波には周波数または波長がありません。
いくつかの概念：
- 基本周期Tは、採取された全てのサンプルの期間、最初のサンプルと最後のサンプルとの間の時間
- サンプリングレートsrは、一定期間（取得頻度とも呼ばれます）に採取されたサンプルの数です。簡単にするために、サンプル間の時間間隔を等しくします。この時間間隔はサンプル間隔siと呼ばれ、基本周期時間をサンプル数Nで割ったものです。したがって、si = TN
- 基本周波数f0は1Tです。基本周波数は、繰り返しパターンの周波数または波長の長さである。前の波では、基本周波数は12πであった。波成分の周波数は、基本周波数の整数倍でなければならない。 f0は第1高調波と呼ばれ、第2高調波は2 * f0であり、第3高調波は3 * f0である。
repeat.xs <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")
title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red");
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)
フーリエ級数を与えられた軌道をプロットするためのR関数です：
plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) {
w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w))
plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)");
abline(h=0,lty=3)}