R Language
Fourier-serier och transformationer
Sök…
Anmärkningar
Fourier-transformen sönderdelar en funktion av tiden (en signal) till frekvenserna som utgör den, på samma sätt som hur ett musikaliskt ackord kan uttryckas som amplituden (eller ljudstyrkan) för dess konstituerande toner. Fourier-transformationen av en tidsfunktion är en komplex värderad funktion av frekvensen, vars absoluta värde representerar mängden av den frekvens som finns i den ursprungliga funktionen, och vars komplexa argument är fasförskjutningen av den grundläggande sinusformen i den frekvensen.
Fourier-transformen kallas frekvensdomänrepresentationen av den ursprungliga signalen. Termen Fourier-transform avser både frekvensdomänrepresentationen och den matematiska operationen som associerar frekvensdomänrepresentationen till en tidsfunktion. Fourier-omvandlingen är inte begränsad till tidsfunktioner, men för att ha ett enhetligt språk benämns den ursprungliga funktionens domän ofta tidsdomänen. För många funktioner av praktiskt intresse kan man definiera en operation som vänder detta: den omvända Fourier-transformationen, även kallad Fourier-syntes, av en frekvensdomänrepresentation, kombinerar bidrag från alla olika frekvenser för att återställa den ursprungliga funktionen av tid.
Linjära operationer som utförs i en domän (tid eller frekvens) har motsvarande operationer i den andra domänen, som ibland är lättare att utföra. Funktionen för differentiering i tidsdomänen motsvarar multiplikation med frekvensen, så vissa differentiella ekvationer är lättare att analysera i frekvensdomänen. Upplösning i tidsdomänen motsvarar också vanlig multiplikation i frekvensdomänen. Konkret betyder detta att alla linjära tidsinvarierande system, såsom ett elektroniskt filter applicerat på en signal, kan uttryckas relativt enkelt som en operation på frekvenser. Så betydande förenkling uppnås ofta genom att transformera tidsfunktioner till frekvensdomänen, utföra de önskade operationerna och omvandla resultatet tillbaka till tiden.
Harmonisk analys är en systematisk studie av förhållandet mellan frekvens- och tidsdomäner, inklusive de typer av funktioner eller operationer som är "enklare" i det ena eller det andra, och har djupa kopplingar till nästan alla områden i modern matematik.
Funktioner som är lokaliserade i tidsdomänen har Fourier-transformationer som är spridda över frekvensdomänen och vice versa. Det kritiska fallet är den Gaussiska funktionen, som är väsentlig betydelse i sannolikhetsteori och statistik samt i studien av fysiska fenomen som uppvisar normal distribution (t.ex. diffusion), som med lämpliga normaliseringar går till sig själv under Fourier-transformen. Joseph Fourier introducerade transformen i sin studie av värmeöverföring, där gaussiska funktioner verkar som lösningar på värmeekvationen.
Fourier-transformen kan formellt definieras som en felaktig Riemann-integral, vilket gör den till en integrerad transformation, även om denna definition inte är lämplig för många applikationer som kräver en mer sofistikerad integrationsteori.
Till exempel använder många relativt enkla applikationer Dirac delta-funktionen, som kan behandlas formellt som om det vore en funktion, men motiveringen kräver en matematisk mer sofistikerad synvinkel. Fourier-transformen kan också generaliseras till funktioner av flera variabler på det euklidiska rymden, och sänder en funktion av 3-dimensionellt rymd till en funktion av 3-dimensionell momentum (eller en funktion av rymd och tid till en funktion av 4-momentum).
Denna idé gör den rumsliga Fourier-transformen mycket naturlig i studiet av vågor, såväl som inom kvantmekanik, där det är viktigt att kunna representera våglösningar antingen som funktioner antingen av rymden eller fart och ibland båda. I allmänhet är funktioner som Fourier-metoder är tillämpliga komplexvärderade och möjligen vektorvärderade. Ytterligare ytterligare generalisering är möjlig för funktioner på grupper, som förutom den ursprungliga Fourier-transformen på ℝ eller ℝn (betraktas som grupper under tillägg), särskilt inkluderar den diskreta tid Fourier-transformen (DTFT, grupp = ℤ), den diskreta Fourier-transformen ( DFT, grupp = ℤ mod N) och Fourier-serien eller cirkulär Fourier-transform (grupp = S1, enhetscirkeln ≈ stängde begränsat intervall med identifierade slutpunkter). Den senare används rutinmässigt för att hantera periodiska funktioner. Fast Fourier-transformen (FFT) är en algoritm för att beräkna DFT.
Fourier-serier
Joseph Fourier visade att varje periodisk våg kan representeras av en summa enkla sinusvågor. Denna summa kallas Fourier-serien. Fourier-serien rymmer endast medan systemet är linjärt. Om det t.ex. finns någon överflödeseffekt (en tröskel där utgången förblir densamma oavsett hur mycket ingång som ges), kommer en icke-linjär effekt in i bilden och bryter sinusvågen och superpositionprincipen.
# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)
wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)
Fourier-serien har också endast om vågorna är periodiska, dvs. de har ett upprepande mönster (icke-periodiska vågor behandlas av Fourier Transform, se nedan). En periodisk våg har en frekvens f och en våglängd λ (en våglängd är avståndet i mediet mellan början och slutet av en cykel, λ = v / f0, där v är våghastigheten) som definieras av det upprepande mönstret. En icke-periodisk våg har inte en frekvens eller våglängd.
Några begrepp:
- Den grundläggande perioden, T, är perioden för alla prover som tagits, tiden mellan det första provet och det sista
- Provtagningshastigheten, sr, är antalet prover som tagits under en tidsperiod (alias anskaffningsfrekvens). För enkelhetens skull kommer vi att göra tidsintervallet mellan proverna lika. Detta tidsintervall kallas provintervallet, si, som är den grundläggande tidsperioden dividerad med antalet sampel N. Så si = TN
- Grundfrekvensen, f0, som är 1T. Den grundläggande frekvensen är frekvensen för det upprepade mönstret eller hur lång våglängd är. I de tidigare vågorna var grundfrekvensen 12π. Frekvenserna för vågkomponenterna måste vara heltalsmultiplar av grundfrekvensen. f0 kallas den första harmoniken, den andra harmoniken är 2 ∗ f0, den tredje är 3 ∗ f0, etc.
repeat.xs <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")
title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red");
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)
Här är en R-funktion för att plotta banor med en fyrare serie:
plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) {
w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w))
plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)");
abline(h=0,lty=3)}