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Serie di Fourier e trasformazioni
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La trasformata di Fourier decompone una funzione del tempo (un segnale) nelle frequenze che la compongono, analogamente a come un accordo musicale può essere espresso come l'ampiezza (o volume) delle sue note costituenti. La trasformata di Fourier di una funzione del tempo stesso è una funzione di frequenza a valore complesso, il cui valore assoluto rappresenta la quantità di quella frequenza presente nella funzione originale e il cui argomento complesso è l'offset di fase della sinusoide di base in quella frequenza.
La trasformata di Fourier è chiamata rappresentazione del dominio della frequenza del segnale originale. Il termine trasformata di Fourier si riferisce sia alla rappresentazione del dominio della frequenza sia all'operazione matematica che associa la rappresentazione del dominio della frequenza ad una funzione del tempo. La trasformazione di Fourier non è limitata alle funzioni del tempo, ma per avere una lingua unificata, il dominio della funzione originale viene comunemente chiamato dominio del tempo. Per molte funzioni di interesse pratico si può definire un'operazione che inverte questo: la trasformazione di Fourier inversa, chiamata anche sintesi di Fourier, di una rappresentazione di dominio di frequenza combina i contributi di tutte le diverse frequenze per recuperare la funzione originale del tempo.
Le operazioni lineari eseguite in un dominio (tempo o frequenza) hanno operazioni corrispondenti nell'altro dominio, che a volte sono più facili da eseguire. L'operazione di differenziazione nel dominio del tempo corrisponde alla moltiplicazione per la frequenza, quindi alcune equazioni differenziali sono più facili da analizzare nel dominio della frequenza. Inoltre, la convoluzione nel dominio del tempo corrisponde alla moltiplicazione ordinaria nel dominio della frequenza. Concretamente, ciò significa che qualsiasi sistema lineare tempo-invariante, come un filtro elettronico applicato a un segnale, può essere espresso relativamente semplicemente come un'operazione sulle frequenze. Una semplificazione così significativa viene spesso ottenuta trasformando le funzioni temporali nel dominio della frequenza, eseguendo le operazioni desiderate e trasformando il risultato nel tempo.
L'analisi armonica è lo studio sistematico della relazione tra la frequenza e il dominio del tempo, compresi i tipi di funzioni o operazioni che sono "più semplici" nell'uno o nell'altro, e ha profonde connessioni a quasi tutte le aree della matematica moderna.
Le funzioni che sono localizzate nel dominio del tempo hanno trasformate di Fourier che sono sparse attraverso il dominio della frequenza e viceversa. Il caso critico è la funzione gaussiana, di notevole importanza nella teoria della probabilità e nella statistica, nonché nello studio di fenomeni fisici che mostrano una distribuzione normale (ad esempio, la diffusione), che con opportune normalizzazioni vanno a se stessa sotto la trasformata di Fourier. Joseph Fourier ha introdotto la trasformazione nel suo studio del trasferimento di calore, in cui le funzioni gaussiane appaiono come soluzioni dell'equazione del calore.
La trasformata di Fourier può essere formalmente definita come un integrale di Riemann improprio, rendendolo una trasformazione integrale, sebbene questa definizione non sia adatta a molte applicazioni che richiedono una teoria di integrazione più sofisticata.
Ad esempio, molte applicazioni relativamente semplici utilizzano la funzione delta di Dirac, che può essere trattata formalmente come se fosse una funzione, ma la giustificazione richiede un punto di vista matematicamente più sofisticato. La trasformata di Fourier può anche essere generalizzata a funzioni di più variabili sullo spazio euclideo, inviando una funzione dello spazio tridimensionale ad una funzione del momento tridimensionale (o una funzione di spazio e tempo a una funzione di 4-momento).
Questa idea rende la trasformazione spaziale di Fourier molto naturale nello studio delle onde, così come nella meccanica quantistica, dove è importante essere in grado di rappresentare soluzioni d'onda sia come funzioni sia di spazio o quantità di moto e talvolta entrambe. In generale, le funzioni a cui i metodi di Fourier sono applicabili sono di valore complesso e possibilmente a valore vettoriale. Ancora ulteriore generalizzazione è possibile a funzioni su gruppi, che, oltre alla trasformata di Fourier originale su ℝ o ℝn (visti come gruppi in aggiunta), includono in particolare la trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT, group = ℤ), la trasformata di Fourier discreta ( DFT, gruppo = ℤ mod N) e la serie di Fourier o trasformata di Fourier circolare (gruppo = S1, il cerchio unitario ≈ intervallo finito chiuso con endpoint identificati). Quest'ultimo è abitualmente impiegato per gestire funzioni periodiche. La trasformata Fast Fourier (FFT) è un algoritmo per il calcolo della DFT.
Serie di Fourier
Joseph Fourier ha dimostrato che qualsiasi onda periodica può essere rappresentata da una somma di semplici onde sinusoidali. Questa somma è chiamata la serie di Fourier. La serie Fourier regge solo mentre il sistema è lineare. Se esiste, ad esempio, un effetto di overflow (una soglia in cui l'uscita rimane la stessa indipendentemente dalla quantità di input fornita), un effetto non lineare entra nell'immagine, interrompendo l'onda sinusoidale e il principio di sovrapposizione.
# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)
wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)
Inoltre, la serie di Fourier regge solo se le onde sono periodiche, cioè hanno un pattern ripetuto (le onde non periodiche sono gestite dalla trasformata di Fourier, vedi sotto). Un'onda periodica ha una frequenza f e una lunghezza d'onda λ (una lunghezza d'onda è la distanza nel mezzo tra l'inizio e la fine di un ciclo, λ = v / f0, dove v è la velocità d'onda) che sono definiti dal modello ripetuto. Un'onda non periodica non ha una frequenza o una lunghezza d'onda.
Alcuni concetti:
- Il periodo fondamentale, T, è il periodo di tutti i campioni presi, il tempo tra il primo campione e l'ultimo
- La frequenza di campionamento, sr, è il numero di campioni prelevati in un periodo di tempo (ovvero frequenza di acquisizione). Per semplicità, renderemo uguale l'intervallo di tempo tra i campioni. Questo intervallo di tempo è chiamato intervallo di campionamento, si, che è il tempo di periodo fondamentale diviso per il numero di campioni N. Quindi, si = TN
- La frequenza fondamentale, f0, che è 1T. La frequenza fondamentale è la frequenza del pattern ripetuto o quanto è lunga la lunghezza d'onda. Nelle onde precedenti, la frequenza fondamentale era 12π. Le frequenze delle componenti d'onda devono essere multipli interi della frequenza fondamentale. f0 è chiamata la prima armonica, la seconda armonica è 2 * f0, la terza è 3 * f0, ecc.
repeat.xs <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")
title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red");
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)
Ecco una funzione R per tracciare le traiettorie date una serie di Fourier:
plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) {
w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w))
plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)");
abline(h=0,lty=3)}