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Fourier-Serie und Transformationen
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Bemerkungen
Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion der Zeit (ein Signal) in die Frequenzen, aus denen sie besteht, ähnlich wie ein Musikakkord als Amplitude (oder Lautstärke) seiner konstituierenden Noten ausgedrückt werden kann. Die Fourier-Transformation einer Funktion der Zeit selbst ist eine komplexwertige Funktion der Frequenz, deren absoluter Wert den Betrag dieser in der ursprünglichen Funktion vorhandenen Frequenz darstellt und deren komplexes Argument der Phasenversatz des Basissinus in dieser Frequenz ist.
Die Fourier-Transformation wird als Frequenzdomänendarstellung des Originalsignals bezeichnet. Der Begriff Fourier-Transformation bezieht sich sowohl auf die Frequenzbereichsdarstellung als auch auf die mathematische Operation, die die Frequenzbereichsdarstellung einer Funktion der Zeit zuordnet. Die Fourier-Transformation ist nicht auf Zeitfunktionen beschränkt, sondern um eine einheitliche Sprache zu haben, wird der Bereich der ursprünglichen Funktion allgemein als Zeitbereich bezeichnet. Für viele Funktionen von praktischem Interesse kann eine Operation definiert werden, die dies umkehrt: Die inverse Fourier-Transformation einer Frequenzbereichsrepräsentation, auch Fourier-Synthese genannt, kombiniert die Beiträge aller verschiedenen Frequenzen, um die ursprüngliche Funktion der Zeit wiederherzustellen.
Lineare Operationen, die in einer Domäne (Zeit oder Häufigkeit) ausgeführt werden, haben entsprechende Operationen in der anderen Domäne, die manchmal einfacher auszuführen sind. Der Vorgang der Differenzierung im Zeitbereich entspricht der Multiplikation mit der Frequenz, so dass einige Differenzialgleichungen im Frequenzbereich einfacher zu analysieren sind. Die Faltung im Zeitbereich entspricht auch einer gewöhnlichen Multiplikation im Frequenzbereich. Konkret bedeutet dies, dass jedes lineare zeitinvariante System, beispielsweise ein auf ein Signal angewendeter elektronischer Filter, relativ einfach als eine Operation auf Frequenzen ausgedrückt werden kann. So wird oft eine erhebliche Vereinfachung erreicht, indem Zeitfunktionen in den Frequenzbereich umgewandelt werden, die gewünschten Operationen ausgeführt werden und das Ergebnis in die Zeit zurückversetzt wird.
Die harmonische Analyse ist die systematische Untersuchung der Beziehung zwischen Frequenz- und Zeitbereichen, einschließlich der Arten von Funktionen oder Operationen, die in dem einen oder anderen "einfacher" sind, und hat tiefe Verbindungen zu fast allen Bereichen der modernen Mathematik.
Funktionen, die im Zeitbereich lokalisiert sind, weisen Fourier-Transformationen auf, die über den Frequenzbereich verteilt sind und umgekehrt. Der kritische Fall ist die Gauß-Funktion, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und -statistik sowie in der Untersuchung von Normalverteilungen (z. B. Diffusion), die mit geeigneten Normalisierungen unter der Fouriertransformation auftreten, von erheblicher Bedeutung ist. Joseph Fourier führte die Transformation in seine Studie der Wärmeübertragung ein, bei der Gaußsche Funktionen als Lösungen der Wärmegleichung erscheinen.
Die Fourier-Transformation kann formal als ein unpassendes Riemann-Integral definiert werden, was sie zu einer Integraltransformation macht, obwohl diese Definition nicht für viele Anwendungen geeignet ist, die eine komplexere Integrationstheorie erfordern.
Beispielsweise verwenden viele relativ einfache Anwendungen die Dirac-Delta-Funktion, die formal wie eine Funktion behandelt werden kann, die Begründung erfordert jedoch einen mathematisch anspruchsvolleren Standpunkt. Die Fourier-Transformation kann auch auf Funktionen mehrerer Variablen im euklidischen Raum verallgemeinert werden, indem eine Funktion des dreidimensionalen Raums an eine Funktion des dreidimensionalen Impulses (oder eine Funktion des Raums und der Zeit an eine Funktion des 4-Impulses) gesendet wird.
Diese Idee macht die räumliche Fourier-Transformation in der Untersuchung von Wellen und in der Quantenmechanik sehr natürlich, wo es wichtig ist, Wellenlösungen entweder als Funktion des Raums oder des Impulses und manchmal als beides darstellen zu können. Im Allgemeinen sind Funktionen, auf die Fourier-Methoden anwendbar sind, komplexwertig und möglicherweise vektoriell. Eine weitere Verallgemeinerung ist auf Funktionen in Gruppen möglich, die neben der ursprünglichen Fourier-Transformation auf ℝ oder ℝn (als Gruppen unter Addition betrachtet) insbesondere die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT, group = ℤ), die diskrete Fourier-Transformation ( DFT, Gruppe = ℤ mod N) und die Fourier-Reihe oder die zirkuläre Fourier-Transformation (Gruppe = S1, der Einheitskreis ≈ geschlossenes endliches Intervall mit identifizierten Endpunkten). Letzteres wird routinemäßig zur Abwicklung periodischer Funktionen eingesetzt. Die Fast Fourier Transformation (FFT) ist ein Algorithmus zur Berechnung der DFT.
Die Fourierreihe
Joseph Fourier zeigte, dass jede periodische Welle durch eine Summe einfacher Sinuswellen dargestellt werden kann. Diese Summe wird als Fourier-Serie bezeichnet. Die Fourier-Serie gilt nur, wenn das System linear ist. Wenn es beispielsweise einen Überlaufeffekt gibt (eine Schwelle, bei der die Ausgabe gleich bleibt, unabhängig davon, wie viel Eingabe gegeben wird), tritt ein nichtlinearer Effekt in das Bild ein, der die Sinuswelle und das Überlagerungsprinzip bricht.
# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)
wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)
Die Fourier-Reihe gilt auch nur dann, wenn die Wellen periodisch sind, dh sie haben ein sich wiederholendes Muster (nicht periodische Wellen werden durch die Fourier-Transformation behandelt, siehe unten). Eine periodische Welle hat eine Frequenz f und eine Wellenlänge λ (eine Wellenlänge ist die Entfernung im Medium zwischen Beginn und Ende eines Zyklus, λ = v / f0, wobei v die Wellengeschwindigkeit ist), die durch das sich wiederholende Muster definiert wird. Eine nichtperiodische Welle hat keine Frequenz oder Wellenlänge.
Einige Konzepte:
- Die Grundperiode T ist die Periode aller genommenen Proben, die Zeit zwischen der ersten und der letzten Probe
- Die Abtastrate, sr, ist die Anzahl von Abtastungen, die über einen Zeitraum hinweg (Akquisitionsfrequenz) genommen wurden. Zur Vereinfachung machen wir das Zeitintervall zwischen den Abtastwerten gleich. Dieses Zeitintervall wird als Abtastintervall si bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Grundperiodenzeit geteilt durch die Anzahl der Abtastwerte N. Also ist si = TN
- Die Grundfrequenz f0 ist 1T. Die Grundfrequenz ist die Frequenz des sich wiederholenden Musters oder wie lang die Wellenlänge ist. In den vorherigen Wellen betrug die Grundfrequenz 12 & pgr ;. Die Frequenzen der Wellenkomponenten müssen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sein. f0 wird die erste Harmonische genannt, die zweite Harmonische ist 2 ∗ f0, die dritte ist 3 ∗ f0 usw.
repeat.xs <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")
title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red");
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)
Hier ist eine R-Funktion zum Zeichnen von Trajektorien einer Fourier-Serie:
plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) {
w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w))
plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)");
abline(h=0,lty=3)}
