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Série de Fourier et Transformations
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Remarques
La transformée de Fourier décompose une fonction du temps (un signal) en fréquences qui le composent, de la même manière qu'un accord musical peut être exprimé en amplitude (ou sonie) de ses notes constitutives. La transformée de Fourier d'une fonction du temps est une fonction de fréquence à valeur complexe, dont la valeur absolue représente la quantité de cette fréquence présente dans la fonction d'origine et dont l'argument complexe est le déphasage de la sinusoïde de base dans cette fréquence.
La transformée de Fourier est appelée représentation fréquentielle du signal original. Le terme transformée de Fourier désigne à la fois la représentation du domaine fréquentiel et l'opération mathématique associant la représentation du domaine fréquentiel à une fonction du temps. La transformée de Fourier ne se limite pas aux fonctions temporelles, mais pour avoir un langage unifié, le domaine de la fonction originale est communément appelé le domaine temporel. Pour de nombreuses fonctions d'intérêt pratique, on peut définir une opération inverse: la transformation de Fourier inverse, également appelée synthèse de Fourier, d'une représentation fréquentielle combine les contributions de toutes les différentes fréquences pour retrouver la fonction temporelle d'origine.
Les opérations linéaires effectuées dans un domaine (temps ou fréquence) ont des opérations correspondantes dans l'autre domaine, qui sont parfois plus faciles à exécuter. L'opération de différenciation dans le domaine temporel correspond à la multiplication par la fréquence, de sorte que certaines équations différentielles sont plus faciles à analyser dans le domaine fréquentiel. En outre, la convolution dans le domaine temporel correspond à une multiplication ordinaire dans le domaine fréquentiel. Concrètement, cela signifie que tout système linéaire invariant dans le temps, tel qu'un filtre électronique appliqué à un signal, peut être exprimé relativement simplement comme une opération sur les fréquences. Ainsi, une simplification importante est souvent obtenue en transformant les fonctions de temps en domaine de fréquence, en effectuant les opérations souhaitées et en transformant le résultat en temps.
L'analyse harmonique est l'étude systématique de la relation entre les domaines de fréquence et de temps, y compris les types de fonctions ou d'opérations "plus simples" dans l'un ou l'autre et a des connexions profondes avec presque tous les domaines des mathématiques modernes.
Les fonctions localisées dans le domaine temporel ont des transformations de Fourier réparties sur le domaine fréquentiel et inversement. Le cas critique est la fonction gaussienne, très importante en théorie des probabilités et en statistique, ainsi que dans l'étude des phénomènes physiques présentant une distribution normale (par exemple, la diffusion) qui, avec des normalisations appropriées, se réalise sous la transformée de Fourier. Joseph Fourier a introduit la transformation dans son étude du transfert de chaleur, où les fonctions gaussiennes apparaissent comme des solutions de l'équation de la chaleur.
La transformée de Fourier peut être formellement définie comme une intégrale de Riemann incorrecte, ce qui en fait une transformation intégrale, bien que cette définition ne soit pas adaptée à de nombreuses applications nécessitant une théorie d'intégration plus sophistiquée.
Par exemple, de nombreuses applications relativement simples utilisent la fonction delta de Dirac, qui peut être traitée formellement comme si elle était une fonction, mais la justification nécessite un point de vue mathématiquement plus sophistiqué. La transformée de Fourier peut aussi être généralisée à des fonctions de plusieurs variables sur l’espace euclidien, en envoyant une fonction de l’espace tridimensionnel à une fonction du moment à 3 dimensions (ou une fonction de l’espace et du temps à une fonction à 4 moments).
Cette idée rend la transformée de Fourier spatiale très naturelle dans l’étude des ondes, ainsi que dans la mécanique quantique, où il est important de pouvoir représenter des solutions soit comme fonctions de l’espace, soit sur l’élan et parfois les deux. En général, les fonctions auxquelles les méthodes de Fourier sont applicables sont des valeurs complexes et éventuellement des valeurs vectorielles. On peut encore généraliser des fonctions sur des groupes qui, outre la transformée de Fourier originale sur ℝ ou ℝn (considérés comme des groupes sous addition), incluent notamment la transformée de Fourier discrète (DTFT, groupe = ℤ), la transformée de Fourier discrète ( DFT, groupe = ℤ mod N) et la série de Fourier ou transformée de Fourier circulaire (groupe = S1, le cercle unitaire ≈ intervalle fini fermé avec les points finaux identifiés). Ce dernier est couramment utilisé pour gérer des fonctions périodiques. La transformée de Fourier rapide (FFT) est un algorithme de calcul de la DFT.
Série de Fourier
Joseph Fourier a montré que toute onde périodique peut être représentée par une somme de sinusoïdes simples. Cette somme s'appelle la série de Fourier. La série de Fourier ne tient que lorsque le système est linéaire. S'il y a, par exemple, un effet de débordement (un seuil où la sortie reste la même quelle que soit la quantité donnée), un effet non linéaire entre dans l'image, brisant l'onde sinusoïdale et le principe de superposition.
# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)
wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)
De plus, la série de Fourier ne tient que si les ondes sont périodiques, c’est-à-dire qu’elles ont un motif répétitif (les ondes non périodiques sont traitées par la transformée de Fourier, voir ci-dessous). Une onde périodique a une fréquence f et une longueur d'onde λ (une longueur d'onde est la distance dans le milieu entre le début et la fin d'un cycle, λ = v / f0, où v est la vitesse de l'onde) définies par le motif répété. Une onde non périodique n'a pas de fréquence ou de longueur d'onde.
Quelques concepts:
- La période fondamentale, T, est la période de tous les échantillons prélevés, le temps entre le premier échantillon et le dernier
- Le taux d'échantillonnage, sr, est le nombre d'échantillons prélevés sur une période de temps (fréquence d'acquisition). Pour simplifier, nous allons faire en sorte que l'intervalle de temps entre les échantillons soit égal. Cet intervalle de temps est appelé intervalle d'échantillon, si, qui est le temps de la période fondamentale divisé par le nombre d'échantillons N. Donc, si = TN
- La fréquence fondamentale, f0, qui est 1T. La fréquence fondamentale est la fréquence du motif répété ou la longueur de la longueur d'onde. Dans les vagues précédentes, la fréquence fondamentale était de 12π. Les fréquences des composantes d'onde doivent être des multiples entiers de la fréquence fondamentale. On appelle f0 le premier harmonique, le second harmonique est 2 ∗ f0, le troisième est 3 ∗ f0, etc.
repeat.xs <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")
title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red");
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)
Voici une fonction R pour tracer des trajectoires avec une série de Fourier:
plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) {
w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w))
plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)");
abline(h=0,lty=3)}