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फूरियर श्रृंखला और रूपांतरण
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फूरियर रूपांतरण समय के एक समारोह (एक संकेत) में आने वाली आवृत्तियों में विघटित करता है, इसी तरह एक संगीतमय कॉर्ड को अपने घटक नोटों के आयाम (या जोर) के रूप में कैसे व्यक्त किया जा सकता है। समय के एक समारोह के फूरियर रूपांतरण एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है, जिसका पूर्ण मान मूल फ़ंक्शन में मौजूद उस आवृत्ति की मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है, और जिसका जटिल तर्क उस आवृत्ति में मूल साइनसॉइड का चरण ऑफसेट है।
फूरियर रूपांतरण को मूल सिग्नल की आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व कहा जाता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म शब्द का तात्पर्य आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व और गणितीय संचालन दोनों से है जो आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व को समय के कार्य से जोड़ता है। फूरियर रूपांतरण समय के कार्यों तक सीमित नहीं है, लेकिन एक एकीकृत भाषा होने के लिए, मूल फ़ंक्शन के डोमेन को आमतौर पर टाइम डोमेन के रूप में संदर्भित किया जाता है। व्यावहारिक रुचि के कई कार्यों के लिए, एक ऑपरेशन को परिभाषित कर सकता है जो इसे उलट देता है: उलटा फूरियर रूपांतरण, जिसे फ़ूरियर सिंथेसिस भी कहा जाता है, आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व के समय के मूल कार्य को पुनर्प्राप्त करने के लिए सभी विभिन्न आवृत्तियों के योगदान को जोड़ती है।
एक डोमेन (समय या आवृत्ति) में किए गए रेखीय संचालन के दूसरे डोमेन में संबंधित संचालन होते हैं, जो कभी-कभी प्रदर्शन करना आसान होता है। समय डोमेन में विभेदन का कार्य आवृत्ति द्वारा गुणा से मेल खाता है, इसलिए आवृत्ति डोमेन में विश्लेषण के लिए कुछ अंतर समीकरण आसान होते हैं। इसके अलावा, टाइम डोमेन में कनवल्शन फ़्रीक्वेंसी डोमेन में साधारण गुणा से मेल खाती है। अफसोस, इसका मतलब यह है कि किसी भी रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली, जैसे कि सिग्नल पर लागू इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर, अपेक्षाकृत बस आवृत्तियों पर एक ऑपरेशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इतना महत्वपूर्ण सरलीकरण अक्सर आवृत्ति कार्यों को आवृत्ति डोमेन में परिवर्तित करने, वांछित संचालन करने और परिणाम को समय पर बदलने के द्वारा प्राप्त किया जाता है।
हार्मोनिक विश्लेषण आवृत्ति और समय डोमेन के बीच संबंधों का व्यवस्थित अध्ययन है, जिसमें एक या दूसरे में "सरल" प्रकार के कार्यों या संचालन शामिल हैं, और आधुनिक गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में गहरे संबंध हैं।
समय डोमेन में स्थानीयकृत फ़ॉयर में फ़ॉयर ट्रांसफ़ॉर्म होते हैं जो फ़्रीक्वेंसी डोमेन में फैल जाते हैं और इसके विपरीत। महत्वपूर्ण मामला गॉसियन फ़ंक्शन है, जिसमें संभावना सिद्धांत और आंकड़ों के साथ-साथ सामान्य वितरण (जैसे, प्रसार) का प्रदर्शन करने वाली भौतिक घटनाओं के अध्ययन में पर्याप्त महत्व है, जो उचित सामान्यीकरण के साथ फूरियर रूपांतरण के तहत खुद को जाता है। जोसेफ फूरियर ने गर्मी हस्तांतरण के अपने अध्ययन में परिवर्तन की शुरुआत की, जहां गॉसियन फ़ंक्शन गर्मी समीकरण के समाधान के रूप में दिखाई देते हैं।
फूरियर रूपांतरण को औपचारिक रूप से एक अनुचित रीमैन अभिन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिससे यह एक अभिन्न परिवर्तन बन जाता है, हालांकि यह परिभाषा कई अनुप्रयोगों के लिए अधिक परिष्कृत एकीकरण सिद्धांत की आवश्यकता के लिए उपयुक्त नहीं है।
उदाहरण के लिए, कई अपेक्षाकृत सरल अनुप्रयोग डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं, जिसे औपचारिक रूप से इलाज किया जा सकता है जैसे कि यह एक फ़ंक्शन था, लेकिन औचित्य के लिए गणितीय रूप से अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। 3-डायनामिक गति (या 4-गति के एक फ़ंक्शन के लिए स्थान और समय का एक फ़ंक्शन) के लिए 3-आयामी स्थान का एक फ़ंक्शन भेजते हुए, यूक्लिडियन स्पेस पर कई वेरिएबल्स के कार्यों के लिए फूरियर ट्रांसफॉर्म को भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।
यह विचार तरंगों के अध्ययन के साथ-साथ क्वांटम यांत्रिकी में स्थानिक फूरियर को बहुत स्वाभाविक रूप से बदल देता है, जहां लहर समाधान का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है या तो अंतरिक्ष या गति और कभी-कभी दोनों के कार्यों के रूप में। सामान्य तौर पर, फूरियर विधियों के लिए लागू होने वाले कार्य जटिल-मूल्यवान हैं, और संभवतः वेक्टर-मूल्यवान हैं। अभी भी समूहों पर फ़ंक्शंस के लिए सामान्यीकरण संभव है, जो, transform या (n (इसके अलावा समूहों के रूप में देखा गया) पर मूल फ़ूरियर ट्रांसफॉर्म के अलावा, विशेष रूप से असतत समय फूरियर ट्रांसफॉर्म (DTFT, group =,), असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म ( डीएफटी, समूह = N मॉड एन) और फूरियर श्रृंखला या परिपत्र फूरियर ट्रांसफॉर्म (समूह = एस 1, इकाई सर्कल points बंद समापन बिंदु की पहचान के साथ परिमित अंतराल)। उत्तरार्द्ध नियमित रूप से आवधिक कार्यों को संभालने के लिए नियोजित किया जाता है। फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) डीएफटी की गणना के लिए एक एल्गोरिथ्म है।
फोरियर श्रेणी
जोसेफ फूरियर ने दिखाया कि किसी भी आवधिक लहर को सरल साइन तरंगों के योग द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस राशि को फूरियर श्रृंखला कहा जाता है। फूरियर श्रृंखला केवल रखती है जबकि सिस्टम रैखिक है। अगर वहाँ है, उदाहरण के लिए, कुछ अतिप्रवाह प्रभाव (एक सीमा जहां आउटपुट समान रहता है चाहे कितना इनपुट दिया जाए), एक गैर-रैखिक प्रभाव तस्वीर में प्रवेश करता है, साइनसोइडल तरंग और सुपरपोज़िशन सिद्धांत को तोड़ता है।
# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)
wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)
इसके अलावा, फूरियर श्रृंखला केवल तभी धारण करती है जब लहरें आवधिक होती हैं, अर्थात, उनके पास दोहराव पैटर्न होता है (गैर आवधिक तरंगों को फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा निपटाया जाता है, नीचे देखें)। एक आवधिक लहर में एक आवृत्ति f और एक तरंग दैर्ध्य λ है (एक तरंग दैर्ध्य एक चक्र की शुरुआत और अंत के बीच माध्यम में दूरी है, λ = v / f0, जहां v तरंग वेग है) जिसे दोहराए गए पैटर्न द्वारा परिभाषित किया गया है। एक गैर-आवधिक लहर में आवृत्ति या तरंग दैर्ध्य नहीं होता है।
कुछ अवधारणाएँ:
- मौलिक अवधि, टी, सभी नमूनों की अवधि, पहले नमूने और अंतिम के बीच का समय है
- नमूना दर, एसआर, समय अवधि (उर्फ अधिग्रहण आवृत्ति) पर लिए गए नमूनों की संख्या है। सादगी के लिए हम नमूनों के बीच समय अंतराल को समान बनाएंगे। इस समय अंतराल को नमूना अंतराल कहा जाता है, si, जो नमूनों की संख्या से विभाजित मूलभूत अवधि समय है। इसलिए, सी = एसएन = TN
- मौलिक आवृत्ति, f0, जो 1T है। मौलिक आवृत्ति दोहराए जाने वाले पैटर्न की आवृत्ति या तरंगदैर्घ्य कितनी देर है। पिछली तरंगों में, मौलिक आवृत्ति 12π थी। लहर घटकों की आवृत्तियों मौलिक आवृत्ति के पूर्णांक गुणकों होनी चाहिए। f0 को पहला हार्मोनिक कहा जाता है, दूसरे हार्मोनिक को 2, f0, तीसरे को 3 0 f0, आदि कहा जाता है।
repeat.xs <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")
title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red");
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)
यहाँ एक फूरियर श्रृंखला दी गई प्रक्षेपवक्र की साजिश रचने के लिए एक आर फ़ंक्शन है:
plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) {
w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w))
plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)");
abline(h=0,lty=3)}
