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Series de Fourier y Transformaciones.

La transformada de Fourier descompone una función del tiempo (una señal) en las frecuencias que la componen, de manera similar a cómo un acorde musical se puede expresar como la amplitud (o volumen) de sus notas constituyentes. La transformada de Fourier de una función del tiempo en sí misma es una función de frecuencia de valor complejo, cuyo valor absoluto representa la cantidad de esa frecuencia presente en la función original, y cuyo argumento complejo es el desfase de la sinusoide básica en esa frecuencia.

La transformada de Fourier se denomina representación en el dominio de la frecuencia de la señal original. El término transformada de Fourier se refiere tanto a la representación en el dominio de la frecuencia como a la operación matemática que asocia la representación en el dominio de la frecuencia a una función del tiempo. La transformada de Fourier no se limita a las funciones del tiempo, pero para tener un lenguaje unificado, el dominio de la función original se conoce comúnmente como el dominio del tiempo. Para muchas funciones de interés práctico, se puede definir una operación que invierta esto: la transformación de Fourier inversa, también llamada síntesis de Fourier, de una representación en el dominio de la frecuencia combina las contribuciones de todas las diferentes frecuencias para recuperar la función original del tiempo.

Las operaciones lineales realizadas en un dominio (tiempo o frecuencia) tienen operaciones correspondientes en el otro dominio, que a veces son más fáciles de realizar. La operación de diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por la frecuencia, por lo que algunas ecuaciones diferenciales son más fáciles de analizar en el dominio de la frecuencia. Además, la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación ordinaria en el dominio de la frecuencia. Concretamente, esto significa que cualquier sistema lineal invariante en el tiempo, como un filtro electrónico aplicado a una señal, puede expresarse de manera relativamente simple como una operación en frecuencias. Por lo tanto, a menudo se logra una simplificación significativa al transformar las funciones de tiempo en el dominio de frecuencia, realizar las operaciones deseadas y transformar el resultado de nuevo en tiempo.

El análisis armónico es el estudio sistemático de la relación entre la frecuencia y los dominios de tiempo, incluidos los tipos de funciones u operaciones que son "más simples" en uno u otro, y tiene conexiones profundas con casi todas las áreas de las matemáticas modernas.

Las funciones que están localizadas en el dominio de tiempo tienen transformadas de Fourier que se extienden a lo largo del dominio de la frecuencia y viceversa. El caso crítico es la función gaussiana, de importancia sustancial en la teoría de la probabilidad y en las estadísticas, así como en el estudio de fenómenos físicos que exhiben una distribución normal (por ejemplo, difusión), que con las normalizaciones apropiadas se somete a sí misma bajo la transformada de Fourier. Joseph Fourier introdujo la transformación en su estudio sobre la transferencia de calor, donde las funciones gaussianas aparecen como soluciones de la ecuación del calor.

La transformada de Fourier se puede definir formalmente como una integral de Riemann impropia, lo que la convierte en una transformada integral, aunque esta definición no es adecuada para muchas aplicaciones que requieren una teoría de integración más sofisticada.

Por ejemplo, muchas aplicaciones relativamente simples utilizan la función delta de Dirac, que puede tratarse formalmente como si fuera una función, pero la justificación requiere un punto de vista matemáticamente más sofisticado. La transformada de Fourier también puede generalizarse a funciones de varias variables en el espacio euclidiano, enviando una función de espacio tridimensional a una función de momento tridimensional (o una función de espacio y tiempo a una función de 4 momentos).

Esta idea hace que la transformada espacial de Fourier sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en la mecánica cuántica, donde es importante poder representar soluciones de ondas, ya sea como funciones del espacio o del momento y, a veces, de ambas. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier tienen un valor complejo y posiblemente un vector. Aún más generalización es posible para funciones en grupos, que, además de la transformada de Fourier original en ℝ o ℝn (vista como grupos bajo adición), incluye en particular la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT, group = ℤ), la transformada de Fourier discreta ( DFT, grupo = ℤ mod N) y la serie de Fourier o la transformada de Fourier circular (grupo = S1, el círculo unitario ≈ intervalo finito cerrado con puntos finales identificados). Este último se emplea habitualmente para manejar funciones periódicas. La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.