R Language
Funkcje dystrybucji

Wprowadzenie

Uwagi

Normalna dystrybucja

Jako przykład weźmy *norm . Z dokumentacji:

dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

Więc gdybym chciał poznać wartość standardowego rozkładu normalnego przy 0, zrobiłbym to

dnorm(0)

Co daje nam 0.3989423 , rozsądną odpowiedź.

W ten sam sposób pnorm(0) daje .5 . Ponownie ma to sens, ponieważ połowa rozkładu znajduje się na lewo od 0.

qnorm będzie zasadniczo pnorm odwrotnie niż pnorm . qnorm(.5) daje 0 .

Wreszcie jest funkcja rnorm :

rnorm(10)

Wygeneruje 10 próbek ze standardowej normy.

Jeśli chcesz zmienić parametry danej dystrybucji, po prostu zmień je w ten sposób

rnorm(10, mean=4, sd= 3)

Rozkład dwumianowy

Zilustrujemy teraz funkcje dbinom , pbinom , qbinom i rbinom zdefiniowane dla rozkładu dwumianowego .

Funkcja dbinom() podaje prawdopodobieństwa dla różnych wartości zmiennej dwumianowej. Minimalnie wymaga trzech argumentów. Pierwszym argumentem tej funkcji musi być wektor kwantyli (możliwe wartości zmiennej losowej X ). Drugi i trzeci argument to defining parameters rozkład, a mianowicie n (liczba niezależnych prób) p (prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie). Na przykład dla rozkładu dwumianowego o n = 5 , p = 0.5 , możliwe wartości dla X wynoszą 0,1,2,3,4,5 . Oznacza to, że dbinom(x,n,p) podaje wartości prawdopodobieństwa P( X = x ) dla x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

#Binom(n = 5, p = 0.5) probabilities
> n <- 5; p<- 0.5; x <- 0:n
> dbinom(x,n,p)
[1] 0.03125 0.15625 0.31250 0.31250 0.15625 0.03125
#To verify the total probability is 1
> sum(dbinom(x,n,p))
[1] 1
> 

Dwumianowy wykres rozkładu prawdopodobieństwa można wyświetlić jak na poniższym rysunku:

> x <- 0:12
> prob <- dbinom(x,12,.5)
> barplot(prob,col = "red",ylim = c(0,.2),names.arg=x,
                           main="Binomial Distribution\n(n=12,p=0.5)")

Zauważ, że rozkład dwumianowy jest symetryczny, gdy p = 0.5 . Aby wykazać, że rozkład dwumianowy jest ujemnie przekrzywiony, gdy p jest większe niż 0.5 , rozważ następujący przykład:

> n=9; p=.7; x=0:n; prob=dbinom(x,n,p);
> barplot(prob,names.arg = x,main="Binomial Distribution\n(n=9, p=0.7)",col="lightblue")

Gdy p jest mniejsze niż 0.5 rozkład dwumianowy jest dodatnio przekrzywiony, jak pokazano poniżej.

> n=9; p=.3; x=0:n; prob=dbinom(x,n,p); 
> barplot(prob,names.arg = x,main="Binomial Distribution\n(n=9, p=0.3)",col="cyan")

Zilustrujemy teraz użycie funkcji skumulowanej dystrybucji pbinom() . Ta funkcja może być używana do obliczania prawdopodobieństw, takich jak P( X <= x ) . Pierwszym argumentem tej funkcji jest wektor kwantyli (wartości x).

# Calculating Probabilities
# P(X <= 2) in a Bin(n=5,p=0.5) distribution
> pbinom(2,5,0.5)
[1] 0.5

Powyższe prawdopodobieństwo można również uzyskać w następujący sposób:

# P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
> sum(dbinom(0:2,5,0.5))
[1] 0.5

Aby obliczyć, prawdopodobieństwa typu: P( a <= X <= b )

# P(3<= X <= 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) in a Bin(n=9,p=0.6) dist
> sum(dbinom(c(3,4,5),9,0.6))
[1] 0.4923556
> 

Przedstawienie rozkładu dwumianowego w formie tabeli:

> n = 10; p = 0.4; x = 0:n; 
> prob = dbinom(x,n,p) 
> cdf = pbinom(x,n,p) 
> distTable = cbind(x,prob,cdf)
> distTable
       x         prob         cdf
 [1,]  0 0.0060466176 0.006046618
 [2,]  1 0.0403107840 0.046357402
 [3,]  2 0.1209323520 0.167289754
 [4,]  3 0.2149908480 0.382280602
 [5,]  4 0.2508226560 0.633103258
 [6,]  5 0.2006581248 0.833761382
 [7,]  6 0.1114767360 0.945238118
 [8,]  7 0.0424673280 0.987705446
 [9,]  8 0.0106168320 0.998322278
[10,]  9 0.0015728640 0.999895142
[11,] 10 0.0001048576 1.000000000
> 

Funkcja rbinom() służy do generowania losowych próbek o określonych rozmiarach i podanych wartościach parametrów.

# Simulation
> xVal<-names(table(rbinom(1000,8,.5)))
> barplot(as.vector(table(rbinom(1000,8,.5))),names.arg =xVal,
                    main="Simulated Binomial Distribution\n (n=8,p=0.5)")