R Language
Fourier-serie en transformaties
Zoeken…
Opmerkingen
De Fourier-transformatie ontbindt een functie van tijd (een signaal) in de frequenties waaruit het bestaat, vergelijkbaar met hoe een muziekakkoord kan worden uitgedrukt als de amplitude (of luidheid) van de samenstellende noten. De Fourier-transformatie van een functie van de tijd zelf is een complexe waardefunctie van frequentie, waarvan de absolute waarde de hoeveelheid van die frequentie vertegenwoordigt die aanwezig is in de oorspronkelijke functie, en wiens complexe argument de fase-offset is van de basissinusoïde in die frequentie.
De Fourier-transformatie wordt de frequentiedomeinrepresentatie van het oorspronkelijke signaal genoemd. De term Fourier-transformatie verwijst naar zowel de frequentiedomeinrepresentatie als de wiskundige bewerking die de frequentiedomeinrepresentatie associeert met een functie van tijd. De Fourier-transformatie is niet beperkt tot tijdfuncties, maar om een uniforme taal te hebben, wordt het domein van de oorspronkelijke functie gewoonlijk het tijddomein genoemd. Voor veel functies van praktisch belang kan men een operatie definiëren die dit omkeert: de inverse Fourier-transformatie, ook wel Fourier-synthese genoemd, van een frequentiedomeinrepresentatie combineert de bijdragen van alle verschillende frequenties om de oorspronkelijke functie van tijd te herstellen.
Lineaire bewerkingen die worden uitgevoerd in het ene domein (tijd of frequentie) hebben overeenkomstige bewerkingen in het andere domein, die soms gemakkelijker zijn uit te voeren. De werking van differentiatie in het tijdsdomein komt overeen met vermenigvuldiging met de frequentie, dus sommige differentiaalvergelijkingen zijn gemakkelijker te analyseren in het frequentiedomein. Convolutie in het tijdsdomein komt ook overeen met gewone vermenigvuldiging in het frequentiedomein. Concreet betekent dit dat elk lineair tijdinvariant systeem, zoals een elektronisch filter dat op een signaal wordt toegepast, relatief eenvoudig kan worden uitgedrukt als een bewerking op frequenties. Vaak wordt dus een aanzienlijke vereenvoudiging bereikt door tijdfuncties te transformeren naar het frequentiedomein, de gewenste bewerkingen uit te voeren en het resultaat terug te zetten in de tijd.
Harmonische analyse is de systematische studie van de relatie tussen de frequentie- en tijddomeinen, inclusief de soorten functies of bewerkingen die in de ene of de andere "eenvoudiger" zijn, en heeft diepe verbindingen met bijna alle gebieden van de moderne wiskunde.
Functies die gelokaliseerd zijn in het tijdsdomein hebben Fourier-transformaties die verspreid zijn over het frequentiedomein en vice versa. Het kritieke geval is de Gauss-functie, van wezenlijk belang in de waarschijnlijkheidstheorie en -statistieken, evenals in de studie van fysische fenomenen die een normale verdeling vertonen (bijv. Diffusie), die met de juiste normalisaties naar zichzelf toe gaat onder de Fourier-transformatie. Joseph Fourier introduceerde de transformatie in zijn onderzoek naar warmteoverdracht, waarbij de Gaussiaanse functies verschijnen als oplossingen van de warmtevergelijking.
De Fourier-transformatie kan formeel worden gedefinieerd als een onjuiste Riemann-integraal, waardoor het een integrale transformatie is, hoewel deze definitie niet geschikt is voor veel toepassingen die een meer geavanceerde integratietheorie vereisen.
Veel relatief eenvoudige toepassingen maken bijvoorbeeld gebruik van de Dirac delta-functie, die formeel kan worden behandeld alsof het een functie is, maar de rechtvaardiging vereist een wiskundig geavanceerder gezichtspunt. De Fourier-transformatie kan ook worden gegeneraliseerd naar functies van verschillende variabelen op de Euclidische ruimte, waarbij een functie van 3-dimensionale ruimte wordt verzonden naar een functie van 3-dimensionale impuls (of een functie van ruimte en tijd naar een functie van 4-impuls).
Dit idee maakt de ruimtelijke Fourier-transformatie heel natuurlijk in de studie van golven, evenals in de kwantummechanica, waar het belangrijk is om golfoplossingen te kunnen representeren als functies van ruimte of impuls en soms beide. Over het algemeen zijn functies waarop Fourier-methoden van toepassing zijn complex en mogelijk vectorgewaardeerd. Nog meer generalisatie is mogelijk voor functies op groepen, die, naast de originele Fourier-transformatie op ℝ of ℝn (gezien als groepen onder toevoeging), met name de discrete tijd Fourier-transformatie (DTFT, groep = ℤ), de discrete Fourier-transformatie ( DFT, groep = ℤ mod N) en de Fourier-reeks of circulaire Fourier-transformatie (groep = S1, de eenheidscirkel ≈ gesloten eindig interval met geïdentificeerde eindpunten). De laatste wordt routinematig gebruikt om periodieke functies te verwerken. De Fast Fourier-transformatie (FFT) is een algoritme voor het berekenen van de DFT.
Fourier-serie
Joseph Fourier liet zien dat elke periodieke golf kan worden weergegeven door een som van eenvoudige sinusgolven. Deze som wordt de Fourier-serie genoemd. De Fourier-serie werkt alleen als het systeem lineair is. Als er bijvoorbeeld een overflow-effect is (een drempel waarbij de output hetzelfde blijft, ongeacht hoeveel input wordt gegeven), komt een niet-lineair effect het beeld binnen, waardoor de sinusvormige golf en het superpositie-principe worden verbroken.
# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)
wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)
De Fourier-serie geldt ook alleen als de golven periodiek zijn, dat wil zeggen, ze hebben een herhalend patroon (niet-periodieke golven worden behandeld door de Fourier-transformatie, zie hieronder). Een periodieke golf heeft een frequentie f en een golflengte λ (een golflengte is de afstand in het medium tussen het begin en het einde van een cyclus, λ = v / f0, waarbij v de golfsnelheid is) die worden gedefinieerd door het herhalende patroon. Een niet-periodieke golf heeft geen frequentie of golflengte.
Enkele concepten:
- De fundamentele periode, T, is de periode van alle genomen monsters, de tijd tussen het eerste monster en het laatste
- De bemonsteringssnelheid, sr, is het aantal monsters genomen gedurende een tijdsperiode (ook wel acquisitiefrequentie genoemd). Voor de eenvoud zullen we het tijdsinterval tussen monsters gelijk maken. Dit tijdsinterval wordt het monsterinterval genoemd, si, de fundamentele periodetijd gedeeld door het aantal monsters N. Dus, si = TN
- De fundamentele frequentie, f0, die 1T is. De fundamentele frequentie is de frequentie van het herhalende patroon of hoe lang de golflengte is. In de vorige golven was de fundamentele frequentie 12π. De frequenties van de golfcomponenten moeten gehele veelvouden van de fundamentele frequentie zijn. f0 wordt de eerste harmonische genoemd, de tweede harmonische is 2 ∗ f0, de derde is 3 ∗ f0, enz.
repeat.xs <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")
title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red");
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)
Hier is een R-functie voor het plotten van trajecten met een Fourier-serie:
plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) {
w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w))
plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)");
abline(h=0,lty=3)}
