Python Language
Exponentiation

Syntaxe

• valeur1 ** valeur2
• pow (valeur1, valeur2 [, valeur3])
• valeur1 .__ pow __ (valeur2 [, valeur3])
• valeur2 .__ rpow __ (valeur1)
• operator.pow (value1, value2)
• opérateur .__ pow __ (valeur1, valeur2)
• math.pow (valeur1, valeur2)
• math.sqrt (value1)
• math.exp (valeur1)
• cmath.exp (value1)
• math.expm1 (valeur1)

Racine carrée: math.sqrt () et cmath.sqrt

Le module math contient la fonction math.sqrt() qui peut calculer la racine carrée de n'importe quel nombre (qui peut être converti en un float ) et le résultat sera toujours un float :

import math

math.sqrt(9)                # 3.0
math.sqrt(11.11)            # 3.3331666624997918
math.sqrt(Decimal('6.25'))  # 2.5

La fonction math.sqrt() déclenche une ValueError si le résultat est complex :

math.sqrt(-10)              

ValueError: erreur de domaine mathématique

math.sqrt(x) est plus rapide que math.pow(x, 0.5) ou x ** 0.5 mais la précision des résultats est la même. Le module cmath est extrêmement similaire au module math , sauf qu'il peut calculer des nombres complexes et que tous ses résultats sont sous la forme d'un + bi. Il peut aussi utiliser .sqrt() :

import cmath

cmath.sqrt(4)  # 2+0j
cmath.sqrt(-4) # 2j

C'est quoi le j ? j est l'équivalent de la racine carrée de -1. Tous les nombres peuvent être mis sous la forme a + bi, ou dans ce cas, a + bj. a est la partie réelle du nombre comme le 2 en 2+0j . Comme il n'a pas de partie imaginaire, b vaut 0. b représente une partie de la partie imaginaire du nombre comme le 2 en 2j . Comme il n'y a pas de véritable partie, 2j peut aussi être écrit 0 + 2j .

Exponentiation à l'aide des commandes intégrées: ** et pow ()

L'exponentiation peut être utilisée en utilisant la fonction pow intégrée ou l'opérateur ** :

2 ** 3    # 8
pow(2, 3) # 8

Pour la plupart des opérations arithmétiques (toutes en Python 2.x), le type de résultat sera celui de l'opérande plus large. Ce n'est pas vrai pour ** ; les cas suivants sont des exceptions à cette règle:

• Base: int , exposant: int < 0 :

  2 ** -3
  # Out: 0.125 (result is a float)
  

• Ceci est également valable pour Python 3.x.

• Avant Python 2.2.0, cela ValueError une ValueError .

• Base: int < 0 ou float < 0 , exposant: float != int

  (-2) ** (0.5)  # also (-2.) ** (0.5)    
  # Out: (8.659560562354934e-17+1.4142135623730951j) (result is complex)
  

• Avant python 3.0.0, cela ValueError une ValueError .

Le module d' operator contient deux fonctions équivalentes à l'opérateur ** :

import operator
operator.pow(4, 2)      # 16
operator.__pow__(4, 3)  # 64

ou on pourrait appeler directement la méthode __pow__ :

val1, val2 = 4, 2
val1.__pow__(val2)      # 16
val2.__rpow__(val1)     # 16
# in-place power operation isn't supported by immutable classes like int, float, complex:
# val1.__ipow__(val2)   

Exponentiation utilisant le module mathématique: math.pow ()

Le module math contient une autre fonction math.pow() . La différence avec la fonction intégrée pow() ou ** est que le résultat est toujours un float :

import math
math.pow(2, 2)    # 4.0
math.pow(-2., 2)  # 4.0

Ce qui exclut les calculs avec des entrées complexes:

math.pow(2, 2+0j) 

TypeError: impossible de convertir un complexe en float

et des calculs qui conduiraient à des résultats complexes:

math.pow(-2, 0.5)

ValueError: erreur de domaine mathématique

Fonction exponentielle: math.exp () et cmath.exp ()

Les deux math et cmath -module contiennent le numéro d'Euler: e et son utilisation avec la fonction intégrée pow() ou ** -operator fonctionne principalement comme math.exp() :

import math

math.e ** 2  # 7.3890560989306495
math.exp(2)  # 7.38905609893065

import cmath
cmath.e ** 2 # 7.3890560989306495
cmath.exp(2) # (7.38905609893065+0j)

Cependant, le résultat est différent et l'utilisation directe de la fonction exponentielle est plus fiable que l'exponentiation intégrée avec base math.e :

print(math.e ** 10)       # 22026.465794806703
print(math.exp(10))       # 22026.465794806718
print(cmath.exp(10).real) # 22026.465794806718
#     difference starts here ---------------^

Fonction exponentielle moins 1: math.expm1 ()

Le module math contient la fonction expm1() qui peut calculer l’expression math.e ** x - 1 pour de très petits x avec une précision supérieure à math.exp(x) de math.exp(x) ou cmath.exp(x) :

import math

print(math.e ** 1e-3 - 1)  # 0.0010005001667083846
print(math.exp(1e-3) - 1)  # 0.0010005001667083846
print(math.expm1(1e-3))    # 0.0010005001667083417
#                            ------------------^

Pour très petit x la différence est plus grande:

print(math.e ** 1e-15 - 1) # 1.1102230246251565e-15
print(math.exp(1e-15) - 1) # 1.1102230246251565e-15
print(math.expm1(1e-15))   # 1.0000000000000007e-15
#                              ^-------------------

L'amélioration est significative en informatique scientifique. Par exemple, la loi de Planck contient une fonction exponentielle moins 1:

def planks_law(lambda_, T):
    from scipy.constants import h, k, c  # If no scipy installed hardcode these!
    return 2 * h * c ** 2 / (lambda_ ** 5 * math.expm1(h * c / (lambda_ * k * T)))

def planks_law_naive(lambda_, T):
    from scipy.constants import h, k, c  # If no scipy installed hardcode these!
    return 2 * h * c ** 2 / (lambda_ ** 5 * (math.e ** (h * c / (lambda_ * k * T)) - 1))

planks_law(100, 5000)        # 4.139080074896474e-19
planks_law_naive(100, 5000)  # 4.139080073488451e-19
#                                        ^---------- 

planks_law(1000, 5000)       # 4.139080128493406e-23
planks_law_naive(1000, 5000) # 4.139080233183142e-23
#                                      ^------------

Méthodes magiques et exponentiation: intégré, math et cmath

En supposant que vous ayez une classe qui stocke des valeurs uniquement entières:

class Integer(object):
    def __init__(self, value):
        self.value = int(value) # Cast to an integer
        
    def __repr__(self):
        return '{cls}({val})'.format(cls=self.__class__.__name__,
                                     val=self.value)
    
    def __pow__(self, other, modulo=None):
        if modulo is None:
            print('Using __pow__')
            return self.__class__(self.value ** other)
        else:
            print('Using __pow__ with modulo')
            return self.__class__(pow(self.value, other, modulo))
    
    def __float__(self):
        print('Using __float__')
        return float(self.value)
    
    def __complex__(self):
        print('Using __complex__')
        return complex(self.value, 0)

L'utilisation de la fonction pow intégrée ou de l'opérateur ** appelle toujours __pow__ :

Integer(2) ** 2                 # Integer(4)
# Prints: Using __pow__
Integer(2) ** 2.5               # Integer(5)
# Prints: Using __pow__
pow(Integer(2), 0.5)            # Integer(1)
# Prints: Using __pow__  
operator.pow(Integer(2), 3)     # Integer(8)
# Prints: Using __pow__
operator.__pow__(Integer(3), 3) # Integer(27)
# Prints: Using __pow__

Le second argument de la __pow__() ne peut être fourni que par l’utilisation de la méthode pow() ou en appelant directement la méthode:

pow(Integer(2), 3, 4)           # Integer(0)
# Prints: Using __pow__ with modulo
Integer(2).__pow__(3, 4)        # Integer(0) 
# Prints: Using __pow__ with modulo  

Alors que les fonctions math convertissent toujours en float et utilisent le calcul flottant:

import math

math.pow(Integer(2), 0.5) # 1.4142135623730951
# Prints: Using __float__

cmath cmath tentent de le convertir en complex mais peuvent également basculer en mode float s'il n'y a pas de conversion explicite en complex :

import cmath

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __complex__

del Integer.__complex__   # Deleting __complex__ method - instances cannot be cast to complex

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __float__

Ni math ni cmath ne fonctionneront si la __float__() est également manquante:

del Integer.__float__  # Deleting __complex__ method

math.sqrt(Integer(2))  # also cmath.exp(Integer(2))

TypeError: un float est requis

Exponentiation modulaire: pow () avec 3 arguments

Fournir pow() avec 3 arguments pow(a, b, c) évalue l’ exponentiation modulaire a ^b mod c :

pow(3, 4, 17)   # 13

# equivalent unoptimized expression:
3 ** 4 % 17     # 13

# steps:
3 ** 4          # 81
81 % 17         # 13

Pour les types intégrés utilisant une exponentiation modulaire n'est possible que si:

• Le premier argument est un int
• Le second argument est un int >= 0
• Le troisième argument est un int != 0

Ces restrictions sont également présentes dans python 3.x

Par exemple, on peut utiliser la forme à trois arguments de pow pour définir une fonction inverse modulaire :

def modular_inverse(x, p):
    """Find a such as  a·x ≡ 1 (mod p), assuming p is prime."""
    return pow(x, p-2, p)

[modular_inverse(x, 13) for x in range(1,13)]
# Out: [1, 7, 9, 10, 8, 11, 2, 5, 3, 4, 6, 12]

Racines: racine nième avec exposants fractionnaires

Bien que la fonction math.sqrt soit fournie pour le cas spécifique des racines carrées, il est souvent pratique d'utiliser l'opérateur d'exponentiation ( ** ) avec des exposants fractionnaires pour effectuer des opérations nth-root, comme les racines de cube.

L'inverse d'une exponentiation est une exponentiation par la réciproque de l'exposant. Donc, si vous pouvez cuber un nombre en le plaçant à l'exposant de 3, vous pouvez trouver la racine du cube d'un nombre en le mettant à l'exposant de 1/3.

>>> x = 3
>>> y = x ** 3
>>> y
27
>>> z = y ** (1.0 / 3)
>>> z
3.0
>>> z == x
True

Calculer de grandes racines entières

Même si Python prend en charge nativement les grands nombres entiers, prendre la nième racine de très grands nombres peut échouer en Python.

x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = cube ** (1.0 / 3)

OverflowError: long int trop grand pour être converti en float

Lorsque vous traitez de tels entiers, vous devrez utiliser une fonction personnalisée pour calculer la nième racine d'un nombre.

def nth_root(x, n):
    # Start with some reasonable bounds around the nth root.
    upper_bound = 1
    while upper_bound ** n <= x:
        upper_bound *= 2
    lower_bound = upper_bound // 2
    # Keep searching for a better result as long as the bounds make sense.
    while lower_bound < upper_bound:
        mid = (lower_bound + upper_bound) // 2
        mid_nth = mid ** n
        if lower_bound < mid and mid_nth < x:
            lower_bound = mid
        elif upper_bound > mid and mid_nth > x:
            upper_bound = mid
        else:
            # Found perfect nth root.
            return mid
    return mid + 1

x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = nth_root(cube, 3)
x == root
# True