Python Language
elevamento a potenza

Sintassi

• valore1 ** valore2
• pow (valore1, valore2 [, valore3])
• valore1 .__ pow __ (valore2 [, valore3])
• valore2 .__ rpow __ (valore1)
• operator.pow (valore1, valore2)
• operatore .__ pow __ (valore1, valore2)
• math.pow (valore1, valore2)
• Math.sqrt (valore1)
• math.exp (valore1)
• cmath.exp (valore1)
• math.expm1 (valore1)

Radice quadrata: math.sqrt () e cmath.sqrt

Il modulo math contiene la funzione math.sqrt() che può calcolare la radice quadrata di qualsiasi numero (che può essere convertito in un float ) e il risultato sarà sempre un float :

import math

math.sqrt(9)                # 3.0
math.sqrt(11.11)            # 3.3331666624997918
math.sqrt(Decimal('6.25'))  # 2.5

La funzione math.sqrt() solleva math.sqrt() ValueError se il risultato sarebbe complex :

math.sqrt(-10)              

ValueError: errore del dominio matematico

math.sqrt(x) è più veloce di math.pow(x, 0.5) o x ** 0.5 ma la precisione dei risultati è la stessa. Il modulo cmath è estremamente simile al modulo math , tranne per il fatto che può calcolare numeri complessi e tutti i suoi risultati sono nella forma di un + bi. Può anche usare .sqrt() :

import cmath

cmath.sqrt(4)  # 2+0j
cmath.sqrt(-4) # 2j

Cosa c'è nella j ? j è l'equivalente della radice quadrata di -1. Tutti i numeri possono essere messi in forma a + bi, o in questo caso, a + bj. a è la parte reale del numero come il 2 in 2+0j . Poiché non ha una parte immaginaria, b è 0. b rappresenta parte della parte immaginaria del numero come il 2 in 2j . Poiché non c'è una parte reale in questo, 2j può anche essere scritto come 0 + 2j .

Esponenziazione usando i builtin: ** e pow ()

L'esponenziazione può essere utilizzata utilizzando la funzione integrata pow o l'operatore ** :

2 ** 3    # 8
pow(2, 3) # 8

Per la maggior parte delle operazioni aritmetiche (tutte in Python 2.x) il tipo di risultato sarà quello dell'operando più ampio. Questo non è vero per ** ; i seguenti casi sono eccezioni a questa regola:

• Base: int , esponente: int < 0 :

  2 ** -3
  # Out: 0.125 (result is a float)
  

• Questo è valido anche per Python 3.x.

• Prima di Python 2.2.0, questo ha generato un ValueError .

• Base: int < 0 o float < 0 , esponente: float != int

  (-2) ** (0.5)  # also (-2.) ** (0.5)    
  # Out: (8.659560562354934e-17+1.4142135623730951j) (result is complex)
  

• Prima di python 3.0.0, questo ha generato un ValueError .

Il modulo operator contiene due funzioni equivalenti al ** -operator:

import operator
operator.pow(4, 2)      # 16
operator.__pow__(4, 3)  # 64

oppure si potrebbe chiamare direttamente il metodo __pow__ :

val1, val2 = 4, 2
val1.__pow__(val2)      # 16
val2.__rpow__(val1)     # 16
# in-place power operation isn't supported by immutable classes like int, float, complex:
# val1.__ipow__(val2)   

Esponenziazione usando il modulo matematico: math.pow ()

Il modulo math contiene un'altra funzione math.pow() . La differenza con la funzione built-in pow() o ** è che il risultato è sempre un float :

import math
math.pow(2, 2)    # 4.0
math.pow(-2., 2)  # 4.0

Che esclude i calcoli con input complessi:

math.pow(2, 2+0j) 

TypeError: impossibile convertire il complesso in float

e calcoli che porterebbero a risultati complessi:

math.pow(-2, 0.5)

ValueError: errore del dominio matematico

Funzione esponenziale: math.exp () e cmath.exp ()

Sia il modulo math che il modulo cmath contengono il numero di Eulero: e e lo utilizza con la funzione built-in pow() o ** -operator funziona principalmente come math.exp() :

import math

math.e ** 2  # 7.3890560989306495
math.exp(2)  # 7.38905609893065

import cmath
cmath.e ** 2 # 7.3890560989306495
cmath.exp(2) # (7.38905609893065+0j)

Tuttavia, il risultato è diverso e l'utilizzo della funzione esponenziale direttamente è più affidabile rispetto alla funzione di esponenziazione integrata con base math.e :

print(math.e ** 10)       # 22026.465794806703
print(math.exp(10))       # 22026.465794806718
print(cmath.exp(10).real) # 22026.465794806718
#     difference starts here ---------------^

Funzione esponenziale meno 1: math.expm1 ()

Il modulo math contiene la funzione expm1() che può calcolare l'espressione math.e ** x - 1 per x molto piccolo con maggiore precisione rispetto a math.exp(x) o cmath.exp(x) consentirebbe:

import math

print(math.e ** 1e-3 - 1)  # 0.0010005001667083846
print(math.exp(1e-3) - 1)  # 0.0010005001667083846
print(math.expm1(1e-3))    # 0.0010005001667083417
#                            ------------------^

Per piccolissime x la differenza aumenta:

print(math.e ** 1e-15 - 1) # 1.1102230246251565e-15
print(math.exp(1e-15) - 1) # 1.1102230246251565e-15
print(math.expm1(1e-15))   # 1.0000000000000007e-15
#                              ^-------------------

Il miglioramento è significativo nel calcolo scientifico. Ad esempio la legge di Planck contiene una funzione esponenziale meno 1:

def planks_law(lambda_, T):
    from scipy.constants import h, k, c  # If no scipy installed hardcode these!
    return 2 * h * c ** 2 / (lambda_ ** 5 * math.expm1(h * c / (lambda_ * k * T)))

def planks_law_naive(lambda_, T):
    from scipy.constants import h, k, c  # If no scipy installed hardcode these!
    return 2 * h * c ** 2 / (lambda_ ** 5 * (math.e ** (h * c / (lambda_ * k * T)) - 1))

planks_law(100, 5000)        # 4.139080074896474e-19
planks_law_naive(100, 5000)  # 4.139080073488451e-19
#                                        ^---------- 

planks_law(1000, 5000)       # 4.139080128493406e-23
planks_law_naive(1000, 5000) # 4.139080233183142e-23
#                                      ^------------

Metodi magici ed esponenziazione: builtin, matematica e cmath

Supponendo che tu abbia una classe che memorizza valori puramente interi:

class Integer(object):
    def __init__(self, value):
        self.value = int(value) # Cast to an integer
        
    def __repr__(self):
        return '{cls}({val})'.format(cls=self.__class__.__name__,
                                     val=self.value)
    
    def __pow__(self, other, modulo=None):
        if modulo is None:
            print('Using __pow__')
            return self.__class__(self.value ** other)
        else:
            print('Using __pow__ with modulo')
            return self.__class__(pow(self.value, other, modulo))
    
    def __float__(self):
        print('Using __float__')
        return float(self.value)
    
    def __complex__(self):
        print('Using __complex__')
        return complex(self.value, 0)

Usando la funzione built-in pow o ** operatore chiama sempre __pow__ :

Integer(2) ** 2                 # Integer(4)
# Prints: Using __pow__
Integer(2) ** 2.5               # Integer(5)
# Prints: Using __pow__
pow(Integer(2), 0.5)            # Integer(1)
# Prints: Using __pow__  
operator.pow(Integer(2), 3)     # Integer(8)
# Prints: Using __pow__
operator.__pow__(Integer(3), 3) # Integer(27)
# Prints: Using __pow__

Il secondo argomento del metodo __pow__() può essere fornito solo usando builtin- pow() o chiamando direttamente il metodo:

pow(Integer(2), 3, 4)           # Integer(0)
# Prints: Using __pow__ with modulo
Integer(2).__pow__(3, 4)        # Integer(0) 
# Prints: Using __pow__ with modulo  

Mentre le funzioni math lo convertono sempre in float e usano il calcolo a virgola mobile:

import math

math.pow(Integer(2), 0.5) # 1.4142135623730951
# Prints: Using __float__

cmath provano a convertirlo in un insieme complex ma possono anche eseguire il fallback in modo che float se non vi è alcuna conversione esplicita a complex :

import cmath

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __complex__

del Integer.__complex__   # Deleting __complex__ method - instances cannot be cast to complex

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __float__

Né math né cmath funzioneranno se __float__() anche il __float__() :

del Integer.__float__  # Deleting __complex__ method

math.sqrt(Integer(2))  # also cmath.exp(Integer(2))

TypeError: è richiesto un float

Esponenziazione modulare: pow () con 3 argomenti

Fornire pow() con 3 argomenti pow(a, b, c) valuta l' esponenziazione modulare a ^b mod c :

pow(3, 4, 17)   # 13

# equivalent unoptimized expression:
3 ** 4 % 17     # 13

# steps:
3 ** 4          # 81
81 % 17         # 13

Per i tipi built-in che utilizzano l'esponenziazione modulare è possibile solo se:

• Il primo argomento è un int
• Il secondo argomento è un int >= 0
• Il terzo argomento è un int != 0

Queste restrizioni sono presenti anche in python 3.x

Ad esempio si può usare la forma a 3 argomenti di pow per definire una funzione inversa modulare :

def modular_inverse(x, p):
    """Find a such as  a·x ≡ 1 (mod p), assuming p is prime."""
    return pow(x, p-2, p)

[modular_inverse(x, 13) for x in range(1,13)]
# Out: [1, 7, 9, 10, 8, 11, 2, 5, 3, 4, 6, 12]

Radici: nth-root con esponenti frazionali

Mentre la funzione math.sqrt è fornita per il caso specifico di radici quadrate, è spesso conveniente usare l'operatore di math.sqrt ( ** ) con esponenti frazionari per eseguire operazioni di nth-root, come le radici di cubi.

L'inverso di un esponenziazione è esponenziale dal reciproco dell'esponente. Quindi, se puoi cubare un numero mettendolo all'esponente di 3, puoi trovare la radice cubica di un numero mettendolo all'esponente di 1/3.

>>> x = 3
>>> y = x ** 3
>>> y
27
>>> z = y ** (1.0 / 3)
>>> z
3.0
>>> z == x
True

Calcolo di radici intere di grandi dimensioni

Anche se Python supporta in modo nativo i grandi numeri interi, l'uso dell'ennesima radice di numeri molto grandi può fallire in Python.

x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = cube ** (1.0 / 3)

OverflowError: long int troppo grande per essere convertito in float

Quando si ha a che fare con numeri interi così grandi, è necessario utilizzare una funzione personalizzata per calcolare l'ennesima radice di un numero.

def nth_root(x, n):
    # Start with some reasonable bounds around the nth root.
    upper_bound = 1
    while upper_bound ** n <= x:
        upper_bound *= 2
    lower_bound = upper_bound // 2
    # Keep searching for a better result as long as the bounds make sense.
    while lower_bound < upper_bound:
        mid = (lower_bound + upper_bound) // 2
        mid_nth = mid ** n
        if lower_bound < mid and mid_nth < x:
            lower_bound = mid
        elif upper_bound > mid and mid_nth > x:
            upper_bound = mid
        else:
            # Found perfect nth root.
            return mid
    return mid + 1

x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = nth_root(cube, 3)
x == root
# True