Python Language
Возведение

Синтаксис

• value1 ** value2
• pow (значение1, значение2 [, значение3])
• value1 .__ pow __ (значение2 [, значение3])
• значение2 .__ rpow __ (значение1)
• operator.pow (значение1, значение2)
• оператор .__ pow __ (значение1, значение2)
• math.pow (значение1, значение2)
• Math.sqrt (значение1)
• Math.exp (значение1)
• cmath.exp (значение1)
• math.expm1 (значение1)

Квадратный корень: math.sqrt () и cmath.sqrt

math модуль содержит math.sqrt() которая может вычислять квадратный корень любого числа (которое может быть преобразовано в float ), и результат всегда будет float :

import math

math.sqrt(9)                # 3.0
math.sqrt(11.11)            # 3.3331666624997918
math.sqrt(Decimal('6.25'))  # 2.5

Функция math.sqrt() вызывает значение ValueError если результат будет complex :

math.sqrt(-10)              

Ошибка ValueError: ошибка в области математики

math.sqrt(x) быстрее, чем math.pow(x, 0.5) или x ** 0.5 но точность результатов одинакова. Модуль cmath очень похож на math модуль, за исключением того, что он может вычислять комплексные числа, и все его результаты представлены в виде a + bi. Он также может использовать .sqrt() :

import cmath

cmath.sqrt(4)  # 2+0j
cmath.sqrt(-4) # 2j

Что с j ? j эквивалентно квадратному корню из -1. Все числа можно поместить в форму a + bi или в этом случае a + bj. a - действительная часть числа, такого как 2 в 2+0j . Поскольку он не имеет мнимой части, b равно 0. b представляет часть мнимой части числа, такого как 2 в 2j . Поскольку в этом нет никакой существенной части, 2j также может быть записана как 0 + 2j .

Экспоненциальность с использованием встроенных функций: ** и pow ()

Экспоненциацию можно использовать, используя встроенную pow или функцию ** :

2 ** 3    # 8
pow(2, 3) # 8

Для большинства (все в Python 2.x) арифметических операций тип результата будет иметь вид более широкого операнда. Это не относится к ** ; следующие случаи являются исключениями из этого правила:

• Base: int , exponent: int < 0 :

  2 ** -3
  # Out: 0.125 (result is a float)
  

• Это также справедливо для Python 3.x.

• До Python 2.2.0 это повысило значение ValueError .

• Base: int < 0 или float < 0 , exponent: float != int

  (-2) ** (0.5)  # also (-2.) ** (0.5)    
  # Out: (8.659560562354934e-17+1.4142135623730951j) (result is complex)
  

• До python 3.0.0 это повысило значение ValueError .

Модуль operator содержит две функции, эквивалентные ** -оператору:

import operator
operator.pow(4, 2)      # 16
operator.__pow__(4, 3)  # 64

или можно напрямую вызвать метод __pow__ :

val1, val2 = 4, 2
val1.__pow__(val2)      # 16
val2.__rpow__(val1)     # 16
# in-place power operation isn't supported by immutable classes like int, float, complex:
# val1.__ipow__(val2)   

Экспоненция с использованием математического модуля: math.pow ()

math модуль содержит другую math.pow() . Разница с встроенной pow() -функция или ** заключается в том, что результатом всегда является float :

import math
math.pow(2, 2)    # 4.0
math.pow(-2., 2)  # 4.0

Это исключает вычисления со сложными входами:

math.pow(2, 2+0j) 

TypeError: невозможно преобразовать комплекс в float

и вычисления, которые приведут к сложным результатам:

math.pow(-2, 0.5)

Ошибка ValueError: ошибка в области математики

Экспоненциальная функция: math.exp () и cmath.exp ()

И math и cmath -модуль содержат число Эйлера: e и использование его со встроенной pow() или ** -оператор работает в основном как math.exp() :

import math

math.e ** 2  # 7.3890560989306495
math.exp(2)  # 7.38905609893065

import cmath
cmath.e ** 2 # 7.3890560989306495
cmath.exp(2) # (7.38905609893065+0j)

Однако результат отличается и использование экспоненциальной функции напрямую более надежно, чем встроенное возведение в степень с базовой math.e :

print(math.e ** 10)       # 22026.465794806703
print(math.exp(10))       # 22026.465794806718
print(cmath.exp(10).real) # 22026.465794806718
#     difference starts here ---------------^

Экспоненциальная функция минус 1: math.expm1 ()

math модуль содержит expm1() которая может вычислять выражение math.e ** x - 1 для очень маленького x с большей точностью, чем math.exp(x) или cmath.exp(x) позволит:

import math

print(math.e ** 1e-3 - 1)  # 0.0010005001667083846
print(math.exp(1e-3) - 1)  # 0.0010005001667083846
print(math.expm1(1e-3))    # 0.0010005001667083417
#                            ------------------^

Для очень маленького x разница становится больше:

print(math.e ** 1e-15 - 1) # 1.1102230246251565e-15
print(math.exp(1e-15) - 1) # 1.1102230246251565e-15
print(math.expm1(1e-15))   # 1.0000000000000007e-15
#                              ^-------------------

Улучшение значимо для научных вычислений. Например , закон Планка содержит экспоненциальную функцию минус 1:

def planks_law(lambda_, T):
    from scipy.constants import h, k, c  # If no scipy installed hardcode these!
    return 2 * h * c ** 2 / (lambda_ ** 5 * math.expm1(h * c / (lambda_ * k * T)))

def planks_law_naive(lambda_, T):
    from scipy.constants import h, k, c  # If no scipy installed hardcode these!
    return 2 * h * c ** 2 / (lambda_ ** 5 * (math.e ** (h * c / (lambda_ * k * T)) - 1))

planks_law(100, 5000)        # 4.139080074896474e-19
planks_law_naive(100, 5000)  # 4.139080073488451e-19
#                                        ^---------- 

planks_law(1000, 5000)       # 4.139080128493406e-23
planks_law_naive(1000, 5000) # 4.139080233183142e-23
#                                      ^------------

Магические методы и возведение в степень: встроенный, математический и cmath

Предположим, что у вас есть класс, который хранит чисто целочисленные значения:

class Integer(object):
    def __init__(self, value):
        self.value = int(value) # Cast to an integer
        
    def __repr__(self):
        return '{cls}({val})'.format(cls=self.__class__.__name__,
                                     val=self.value)
    
    def __pow__(self, other, modulo=None):
        if modulo is None:
            print('Using __pow__')
            return self.__class__(self.value ** other)
        else:
            print('Using __pow__ with modulo')
            return self.__class__(pow(self.value, other, modulo))
    
    def __float__(self):
        print('Using __float__')
        return float(self.value)
    
    def __complex__(self):
        print('Using __complex__')
        return complex(self.value, 0)

Использование встроенной функции pow или ** оператор всегда вызывает __pow__ :

Integer(2) ** 2                 # Integer(4)
# Prints: Using __pow__
Integer(2) ** 2.5               # Integer(5)
# Prints: Using __pow__
pow(Integer(2), 0.5)            # Integer(1)
# Prints: Using __pow__  
operator.pow(Integer(2), 3)     # Integer(8)
# Prints: Using __pow__
operator.__pow__(Integer(3), 3) # Integer(27)
# Prints: Using __pow__

Второй аргумент метода __pow__() может быть предоставлен только с помощью встроенной функции pow() или путем прямого вызова метода:

pow(Integer(2), 3, 4)           # Integer(0)
# Prints: Using __pow__ with modulo
Integer(2).__pow__(3, 4)        # Integer(0) 
# Prints: Using __pow__ with modulo  

Хотя math функции всегда преобразуют его в float и используют вычисление float:

import math

math.pow(Integer(2), 0.5) # 1.4142135623730951
# Prints: Using __float__

cmath -функции пытаются преобразовать его в complex но могут также возвращаться к float если нет явного преобразования в complex :

import cmath

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __complex__

del Integer.__complex__   # Deleting __complex__ method - instances cannot be cast to complex

cmath.exp(Integer(2))     # (7.38905609893065+0j)
# Prints: Using __float__

Ни math ни cmath будут работать, если отсутствует метод __float__() :

del Integer.__float__  # Deleting __complex__ method

math.sqrt(Integer(2))  # also cmath.exp(Integer(2))

TypeError: требуется поплавок

Модульное возведение в степень: pow () с тремя аргументами

Поставка pow() тремя аргументами pow(a, b, c) оценивает модульное возведение в степень a ^b mod c :

pow(3, 4, 17)   # 13

# equivalent unoptimized expression:
3 ** 4 % 17     # 13

# steps:
3 ** 4          # 81
81 % 17         # 13

Для встроенных типов, использующих модульное возведение в степень, возможно только в том случае, если:

• Первый аргумент - int
• Второй аргумент - это int >= 0
• Третий аргумент - это int != 0

Эти ограничения также присутствуют в python 3.x

Например, можно использовать 3-аргументную форму pow для определения модульной обратной функции:

def modular_inverse(x, p):
    """Find a such as  a·x ≡ 1 (mod p), assuming p is prime."""
    return pow(x, p-2, p)

[modular_inverse(x, 13) for x in range(1,13)]
# Out: [1, 7, 9, 10, 8, 11, 2, 5, 3, 4, 6, 12]

Корни: n-й корень с дробными показателями

Хотя функция math.sqrt предоставляется для конкретного случая квадратных корней, часто удобно использовать оператор экспоненции ( ** ) с дробными показателями для выполнения операций n-го корня, таких как корни куба.

Обратное к возведению в степень - это возведение в степень по обратному экспоненте. Итак, если вы можете кубировать число, поместив его в показатель степени 3, вы можете найти корень куба числа, поставив его на показатель 1/3.

>>> x = 3
>>> y = x ** 3
>>> y
27
>>> z = y ** (1.0 / 3)
>>> z
3.0
>>> z == x
True

Вычисление больших целых корней

Несмотря на то, что Python изначально поддерживает большие целые числа, использование n-го корня из очень больших чисел может привести к ошибке в Python.

x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = cube ** (1.0 / 3)

OverflowError: long int too large для преобразования в float

При работе с такими большими целыми числами вам нужно будет использовать пользовательскую функцию для вычисления n-го корня числа.

def nth_root(x, n):
    # Start with some reasonable bounds around the nth root.
    upper_bound = 1
    while upper_bound ** n <= x:
        upper_bound *= 2
    lower_bound = upper_bound // 2
    # Keep searching for a better result as long as the bounds make sense.
    while lower_bound < upper_bound:
        mid = (lower_bound + upper_bound) // 2
        mid_nth = mid ** n
        if lower_bound < mid and mid_nth < x:
            lower_bound = mid
        elif upper_bound > mid and mid_nth > x:
            upper_bound = mid
        else:
            # Found perfect nth root.
            return mid
    return mid + 1

x = 2 ** 100
cube = x ** 3
root = nth_root(cube, 3)
x == root
# True