Haskell Language
Schematy rekurencyjne

Uwagi

Naprawiono punkty

Fix przyjmuje typ „szablonu” i wiąże rekurencyjny węzeł, układając szablon jak lasagne.

newtype Fix f = Fix { unFix :: f (Fix f) }

Wewnątrz Fix f znajdujemy warstwę szablonu f . Wypełnić f jako parametr, Fix f zatyczki w sobie. Kiedy więc zajrzysz do szablonu f , zauważysz rekurencyjne wystąpienie Fix f .

Oto, w jaki sposób typowy typ danych rekurencyjnych może zostać przetłumaczony na naszą strukturę szablonów i punktów stałych. Usuwamy rekurencyjne wystąpienia tego typu i zaznaczamy ich pozycje za pomocą parametru r .

{-# LANGUAGE DeriveFunctor #-}

-- natural numbers
-- data Nat = Zero | Suc Nat
data NatF r = Zero_ | Suc_ r deriving Functor
type Nat = Fix NatF

zero :: Nat
zero = Fix Zero_
suc :: Nat -> Nat
suc n = Fix (Suc_ n)


-- lists: note the additional type parameter a
-- data List a = Nil | Cons a (List a)
data ListF a r = Nil_ | Cons_ a r deriving Functor
type List a = Fix (ListF a)

nil :: List a
nil = Fix Nil_
cons :: a -> List a -> List a
cons x xs = Fix (Cons_ x xs)


-- binary trees: note two recursive occurrences
-- data Tree a = Leaf | Node (Tree a) a (Tree a)
data TreeF a r = Leaf_ | Node_ r a r deriving Functor
type Tree a = Fix (TreeF a)

leaf :: Tree a
leaf = Fix Leaf_
node :: Tree a -> a -> Tree a -> Tree a
node l x r = Fix (Node_ l x r)

Składanie struktury pojedynczo

Katamorfizmy lub fałdy modelują prymitywną rekurencję. cata rozbija punkt stały warstwa po warstwie, używając funkcji algebry (lub funkcji składania ) do przetworzenia każdej warstwy. cata wymaga instancji Functor dla typu szablonu f .

cata :: Functor f => (f a -> a) -> Fix f -> a
cata f = f . fmap (cata f) . unFix

-- list example
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> List a -> b
foldr f z = cata alg
    where alg Nil_ = z
          alg (Cons_ x acc) = f x acc

Rozkładanie struktury pojedynczo

Anamorfizmy , lub rozwija się , prymitywna współzależność modelu. ana buduje punkt stały warstwa po warstwie, używając funkcji węgielgebra (lub funkcji rozwijania ) do wytworzenia każdej nowej warstwy. ana wymaga wystąpienia Functor dla typu szablonu f .

ana :: Functor f => (a -> f a) -> a -> Fix f
ana f = Fix . fmap (ana f) . f

-- list example
unfoldr :: (b -> Maybe (a, b)) -> b -> List a
unfoldr f = ana coalg
    where coalg x = case f x of
                         Nothing -> Nil_
                         Just (x, y) -> Cons_ x y

Zauważ, że ana i cata są podwójne . Typy i implementacje są wzajemnymi odbiciami lustrzanymi.

Rozkładanie, a następnie składanie, łączenie

Często programuje się strukturę programu jako budowanie struktury danych, a następnie zwijanie go do pojedynczej wartości. Nazywa się to hylomorfizmem lub fałdowaniem . Możliwe jest całkowite pominięcie struktury pośredniej w celu zwiększenia wydajności.

hylo :: Functor f => (a -> f a) -> (f b -> b) -> a -> b
hylo f g = g . fmap (hylo f g) . f  -- no mention of Fix!

Pochodzenie:

hylo f g = cata g . ana f
         = g . fmap (cata g) . unFix . Fix . fmap (ana f) . f  -- definition of cata and ana
         = g . fmap (cata g) . fmap (ana f) . f  -- unfix . Fix = id
         = g . fmap (cata g . ana f) . f  -- Functor law
         = g . fmap (hylo f g) . f  -- definition of hylo

Pierwotna rekurencja

Paramorfizmy modelują pierwotną rekurencję. Przy każdej iteracji składania funkcja składania otrzymuje poddrzewo do dalszego przetwarzania.

para :: Functor f => (f (Fix f, a) -> a) -> Fix f -> a
para f = f . fmap (\x -> (x, para f x)) . unFix

tails Preludium można modelować jako paramorfizm.

tails :: List a -> List (List a)
tails = para alg
    where alg Nil_ = cons nil nil  -- [[]]
          alg (Cons_ x (xs, xss)) = cons (cons x xs) xss  -- (x:xs):xss

Prymitywna rdzeń

Apomorfizmy modelują prymitywną rdzeń. Przy każdej iteracji rozwinięcia funkcja rozwijania może zwrócić albo nowe ziarno, albo całe poddrzewo.

apo :: Functor f => (a -> f (Either (Fix f) a)) -> a -> Fix f
apo f = Fix . fmap (either id (apo f)) . f

Zauważ, że apo i para są podwójne . Strzały tego typu są odwrócone; krotka w para jest podwójna w stosunku do Either w apo , a implementacje są wzajemnym odbiciem lustrzanym.