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Problème de sac à dos
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Remarques
Le problème de Knapsack se pose principalement dans les mécanismes d’allocation des ressources. Le nom "Knapsack" a été introduit pour la première fois par Tobias Dantzig .
Espace auxiliaire: O(nw)
Complexité temporelle O(nw)
Les bases du problème du sac à dos
Le problème : Étant donné un ensemble d'éléments où chaque élément contient un poids et une valeur, déterminez le nombre de chacun à inclure dans une collection afin que le poids total soit inférieur ou égal à une limite donnée et que la valeur totale soit aussi grande que possible. .
Pseudo-code pour problème de sac à dos
Donné:
- Valeurs (tableau v)
- Poids (tableau w)
- Nombre d'éléments distincts (n)
- Capacité (W)
for j from 0 to W do:
m[0, j] := 0
for i from 1 to n do:
for j from 0 to W do:
if w[i] > j then:
m[i, j] := m[i-1, j]
else:
m[i, j] := max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i]] + v[i])
Une implémentation simple du pseudo-code ci-dessus en utilisant Python:
def knapSack(W, wt, val, n):
K = [[0 for x in range(W+1)] for x in range(n+1)]
for i in range(n+1):
for w in range(W+1):
if i==0 or w==0:
K[i][w] = 0
elif wt[i-1] <= w:
K[i][w] = max(val[i-1] + K[i-1][w-wt[i-1]], K[i-1][w])
else:
K[i][w] = K[i-1][w]
return K[n][W]
val = [60, 100, 120]
wt = [10, 20, 30]
W = 50
n = len(val)
print(knapSack(W, wt, val, n))
Exécution du code: Enregistrez-le dans un fichier nommé knapSack.py
$ python knapSack.py
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Time Complexité du code ci-dessus: O(nW)
où n est le nombre d'éléments et W la capacité du sac à dos.
Solution implémentée en C #
public class KnapsackProblem
{
private static int Knapsack(int w, int[] weight, int[] value, int n)
{
int i;
int[,] k = new int[n + 1, w + 1];
for (i = 0; i <= n; i++)
{
int b;
for (b = 0; b <= w; b++)
{
if (i==0 || b==0)
{
k[i, b] = 0;
}
else if (weight[i - 1] <= b)
{
k[i, b] = Math.Max(value[i - 1] + k[i - 1, b - weight[i - 1]], k[i - 1, b]);
}
else
{
k[i, b] = k[i - 1, b];
}
}
}
return k[n, w];
}
public static int Main(int nItems, int[] weights, int[] values)
{
int n = values.Length;
return Knapsack(nItems, weights, values, n);
}
}