algorithm
Gleichungslösung
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Lineare Gleichung
Es gibt zwei Klassen von Methoden zum Lösen linearer Gleichungen:
Direkte Methoden : Gemeinsame Merkmale von direkten Methoden sind, dass sie die ursprüngliche Gleichung in äquivalente Gleichungen umwandeln, die sich leichter lösen lassen, dh wir werden direkt aus einer Gleichung gelöst.
Iterative Methode : Iterative oder indirekte Methoden: Beginnen Sie mit einem Lösungsvorschlag und verfeinern Sie die Lösung wiederholt, bis ein bestimmtes Konvergenzkriterium erreicht wird. Iterative Methoden sind im Allgemeinen weniger effizient als direkte Methoden, da eine große Anzahl von Operationen erforderlich ist. Beispiel - Jacobis Iterationsmethode, Gauß-Seidal-Iterationsmethode.
Implementierung in C-
//Implementation of Jacobi's Method
void JacobisMethod(int n, double x[n], double b[n], double a[n][n]){
double Nx[n]; //modified form of variables
int rootFound=0; //flag
int i, j;
while(!rootFound){
for(i=0; i<n; i++){ //calculation
Nx[i]=b[i];
for(j=0; j<n; j++){
if(i!=j) Nx[i] = Nx[i]-a[i][j]*x[j];
}
Nx[i] = Nx[i] / a[i][i];
}
rootFound=1; //verification
for(i=0; i<n; i++){
if(!( (Nx[i]-x[i])/x[i] > -0.000001 && (Nx[i]-x[i])/x[i] < 0.000001 )){
rootFound=0;
break;
}
}
for(i=0; i<n; i++){ //evaluation
x[i]=Nx[i];
}
}
return ;
}
//Implementation of Gauss-Seidal Method
void GaussSeidalMethod(int n, double x[n], double b[n], double a[n][n]){
double Nx[n]; //modified form of variables
int rootFound=0; //flag
int i, j;
for(i=0; i<n; i++){ //initialization
Nx[i]=x[i];
}
while(!rootFound){
for(i=0; i<n; i++){ //calculation
Nx[i]=b[i];
for(j=0; j<n; j++){
if(i!=j) Nx[i] = Nx[i]-a[i][j]*Nx[j];
}
Nx[i] = Nx[i] / a[i][i];
}
rootFound=1; //verification
for(i=0; i<n; i++){
if(!( (Nx[i]-x[i])/x[i] > -0.000001 && (Nx[i]-x[i])/x[i] < 0.000001 )){
rootFound=0;
break;
}
}
for(i=0; i<n; i++){ //evaluation
x[i]=Nx[i];
}
}
return ;
}
//Print array with comma separation
void print(int n, double x[n]){
int i;
for(i=0; i<n; i++){
printf("%lf, ", x[i]);
}
printf("\n\n");
return ;
}
int main(){
//equation initialization
int n=3; //number of variables
double x[n]; //variables
double b[n], //constants
a[n][n]; //arguments
//assign values
a[0][0]=8; a[0][1]=2; a[0][2]=-2; b[0]=8; //8x₁+2x₂-2x₃+8=0
a[1][0]=1; a[1][1]=-8; a[1][2]=3; b[1]=-4; //x₁-8x₂+3x₃-4=0
a[2][0]=2; a[2][1]=1; a[2][2]=9; b[2]=12; //2x₁+x₂+9x₃+12=0
int i;
for(i=0; i<n; i++){ //initialization
x[i]=0;
}
JacobisMethod(n, x, b, a);
print(n, x);
for(i=0; i<n; i++){ //initialization
x[i]=0;
}
GaussSeidalMethod(n, x, b, a);
print(n, x);
return 0;
}
Nichtlineare Gleichung
Eine Gleichung vom Typ f(x)=0 ist entweder algebraisch oder transzendental. Diese Arten von Gleichungen können mit zwei Arten von Methoden gelöst werden:
Direkte Methode : Diese Methode gibt den genauen Wert aller Wurzeln direkt in einer endlichen Anzahl von Schritten an.
Indirekte oder iterative Methode : Iterative Methoden eignen sich am besten für Computerprogramme zur Lösung einer Gleichung. Es basiert auf dem Konzept der sukzessiven Annäherung. In der iterativen Methode gibt es zwei Möglichkeiten, eine Gleichung zu lösen:
Methode der Belichtungsreihe : Wir nehmen zwei Anfangspunkte, an denen die Wurzel zwischen ihnen liegt. Beispiel - Bisektionsmethode, Falschpositionsmethode.
Open-End-Methode : Wir nehmen ein oder zwei Anfangswerte an, wobei die Wurzel irgendwo sein kann. Beispiel - Newton-Raphson-Methode, sukzessive Approximationsmethode, Zweitmethode.
Implementierung in C-
/// Here define different functions to work with
#define f(x) ( ((x)*(x)*(x)) - (x) - 2 )
#define f2(x) ( (3*(x)*(x)) - 1 )
#define g(x) ( cbrt( (x) + 2 ) )
/**
* Takes two initial values and shortens the distance by both side.
**/
double BisectionMethod(){
double root=0;
double a=1, b=2;
double c=0;
int loopCounter=0;
if(f(a)*f(b) < 0){
while(1){
loopCounter++;
c=(a+b)/2;
if(f(c)<0.00001 && f(c)>-0.00001){
root=c;
break;
}
if((f(a))*(f(c)) < 0){
b=c;
}else{
a=c;
}
}
}
printf("It took %d loops.\n", loopCounter);
return root;
}
/**
* Takes two initial values and shortens the distance by single side.
**/
double FalsePosition(){
double root=0;
double a=1, b=2;
double c=0;
int loopCounter=0;
if(f(a)*f(b) < 0){
while(1){
loopCounter++;
c=(a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a));
/*/printf("%lf\t %lf \n", c, f(c));/**////test
if(f(c)<0.00001 && f(c)>-0.00001){
root=c;
break;
}
if((f(a))*(f(c)) < 0){
b=c;
}else{
a=c;
}
}
}
printf("It took %d loops.\n", loopCounter);
return root;
}
/**
* Uses one initial value and gradually takes that value near to the real one.
**/
double NewtonRaphson(){
double root=0;
double x1=1;
double x2=0;
int loopCounter=0;
while(1){
loopCounter++;
x2 = x1 - (f(x1)/f2(x1));
/*/printf("%lf \t %lf \n", x2, f(x2));/**////test
if(f(x2)<0.00001 && f(x2)>-0.00001){
root=x2;
break;
}
x1=x2;
}
printf("It took %d loops.\n", loopCounter);
return root;
}
/**
* Uses one initial value and gradually takes that value near to the real one.
**/
double FixedPoint(){
double root=0;
double x=1;
int loopCounter=0;
while(1){
loopCounter++;
if( (x-g(x)) <0.00001 && (x-g(x)) >-0.00001){
root = x;
break;
}
/*/printf("%lf \t %lf \n", g(x), x-(g(x)));/**////test
x=g(x);
}
printf("It took %d loops.\n", loopCounter);
return root;
}
/**
* uses two initial values & both value approaches to the root.
**/
double Secant(){
double root=0;
double x0=1;
double x1=2;
double x2=0;
int loopCounter=0;
while(1){
loopCounter++;
/*/printf("%lf \t %lf \t %lf \n", x0, x1, f(x1));/**////test
if(f(x1)<0.00001 && f(x1)>-0.00001){
root=x1;
break;
}
x2 = ((x0*f(x1))-(x1*f(x0))) / (f(x1)-f(x0));
x0=x1;
x1=x2;
}
printf("It took %d loops.\n", loopCounter);
return root;
}
int main(){
double root;
root = BisectionMethod();
printf("Using Bisection Method the root is: %lf \n\n", root);
root = FalsePosition();
printf("Using False Position Method the root is: %lf \n\n", root);
root = NewtonRaphson();
printf("Using Newton-Raphson Method the root is: %lf \n\n", root);
root = FixedPoint();
printf("Using Fixed Point Method the root is: %lf \n\n", root);
root = Secant();
printf("Using Secant Method the root is: %lf \n\n", root);
return 0;
}