algorithm
방정식 풀이

일차 방정식

선형 방정식을 푸는 방법에는 두 가지 종류가 있습니다.

1. 직접 방법 : 직접 방식의 일반적인 특징은보다 쉽게 해결 우리는 방정식에서 직접 해결하는 수단을 얻을 수있다 등가 식에 일본어 식을 변형하는 것이있다.

2. 반복적 인 방법 : 반복적 또는 간접적 인 방법으로, 솔루션의 추측으로 시작한 다음 특정 수렴 조건에 도달 할 때까지 솔루션을 반복하여 수정하십시오. 반복적 인 방법은 많은 수의 작업이 필요하기 때문에 일반적으로 직접적인 방법보다 효율적이지 않습니다. 예 - Jacobi의 반복 방법, Gauss-Seidal 반복 방법.

C-

//Implementation of Jacobi's Method
void JacobisMethod(int n, double x[n], double b[n], double a[n][n]){
    double Nx[n]; //modified form of variables
    int rootFound=0; //flag

    int i, j;
    while(!rootFound){
        for(i=0; i<n; i++){              //calculation
            Nx[i]=b[i];

            for(j=0; j<n; j++){
                if(i!=j) Nx[i] = Nx[i]-a[i][j]*x[j];
            }
            Nx[i] = Nx[i] / a[i][i];
        }

        rootFound=1;                    //verification
        for(i=0; i<n; i++){
            if(!( (Nx[i]-x[i])/x[i] > -0.000001 && (Nx[i]-x[i])/x[i] < 0.000001 )){
                rootFound=0;
                break;
            }
        }

        for(i=0; i<n; i++){             //evaluation
            x[i]=Nx[i];
        }
    }

    return ;
}

//Implementation of Gauss-Seidal Method
void GaussSeidalMethod(int n, double x[n], double b[n], double a[n][n]){
    double Nx[n]; //modified form of variables
    int rootFound=0; //flag

    int i, j;
    for(i=0; i<n; i++){                  //initialization
        Nx[i]=x[i];
    }

    while(!rootFound){
        for(i=0; i<n; i++){              //calculation
            Nx[i]=b[i];

            for(j=0; j<n; j++){
                if(i!=j) Nx[i] = Nx[i]-a[i][j]*Nx[j];
            }
            Nx[i] = Nx[i] / a[i][i];
        }

        rootFound=1;                    //verification
        for(i=0; i<n; i++){
            if(!( (Nx[i]-x[i])/x[i] > -0.000001 && (Nx[i]-x[i])/x[i] < 0.000001 )){
                rootFound=0;
                break;
            }
        }

        for(i=0; i<n; i++){             //evaluation
            x[i]=Nx[i];
        }
    }

    return ;
}

//Print array with comma separation
void print(int n, double x[n]){
    int i;
    for(i=0; i<n; i++){
        printf("%lf, ", x[i]);
    }
    printf("\n\n");

    return ;
}

int main(){
    //equation initialization
    int n=3;    //number of variables

    double x[n];    //variables

    double b[n],    //constants
        a[n][n];    //arguments

    //assign values
    a[0][0]=8; a[0][1]=2; a[0][2]=-2; b[0]=8;    //8x₁+2x₂-2x₃+8=0
    a[1][0]=1; a[1][1]=-8; a[1][2]=3; b[1]=-4;   //x₁-8x₂+3x₃-4=0
    a[2][0]=2; a[2][1]=1; a[2][2]=9; b[2]=12;    //2x₁+x₂+9x₃+12=0


    int i;

    for(i=0; i<n; i++){                         //initialization
        x[i]=0;
    }
    JacobisMethod(n, x, b, a);
    print(n, x);


    for(i=0; i<n; i++){                         //initialization
        x[i]=0;
    }
    GaussSeidalMethod(n, x, b, a);
    print(n, x);

    return 0;
}

비선형 방정식

f(x)=0 의 방정식은 대수적 또는 초월 적입니다. 이러한 방정식 유형은 두 가지 유형의 메소드를 사용하여 해결할 수 있습니다.

1. 직접법 :이 방법은 유한 단계의 수에서 모든 뿌리의 정확한 값을 직접 제공합니다.

2. 간접 또는 반복적 인 방법 : 반복적 인 방법은 방정식을 풀 수있는 컴퓨터 프로그램에 가장 적합합니다. 이는 연속 근사의 개념에 기반합니다. 반복적 인 방법에는 방정식을 풀 수있는 두 가지 방법이 있습니다.

   • 브라켓 팅 방법 : 우리는 그 사이에 뿌리가있는 두 개의 초기 점을 취합니다. 예 - 이단 방법, 거짓 위치 방법.

   • Open End Method : 루트가 any-where 일 수있는 하나 또는 두 개의 초기 값을 취합니다. 뉴톤 - 라프 슨 방법, 연속 근사 방법, 시컨트 방법.

C-

/// Here define different functions to work with
#define f(x) ( ((x)*(x)*(x)) - (x) - 2 )
#define f2(x) ( (3*(x)*(x)) - 1 )
#define g(x) ( cbrt( (x) + 2 ) )


/**
* Takes two initial values and shortens the distance by both side.
**/
double BisectionMethod(){
    double root=0;

    double a=1, b=2;
    double c=0;

    int loopCounter=0;
    if(f(a)*f(b) < 0){
        while(1){
            loopCounter++;
            c=(a+b)/2;

            if(f(c)<0.00001 && f(c)>-0.00001){
                root=c;
                break;
            }

            if((f(a))*(f(c)) < 0){
                b=c;
            }else{
                a=c;
            }

        }
    }
    printf("It took %d loops.\n", loopCounter);

    return root;
}

/**
* Takes two initial values and shortens the distance by single side.
**/
double FalsePosition(){
    double root=0;

    double a=1, b=2;
    double c=0;

    int loopCounter=0;
    if(f(a)*f(b) < 0){
        while(1){
            loopCounter++;

            c=(a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a));

            /*/printf("%lf\t %lf \n", c, f(c));/**////test
            if(f(c)<0.00001 && f(c)>-0.00001){
                root=c;
                break;
            }

            if((f(a))*(f(c)) < 0){
                b=c;
            }else{
                a=c;
            }
        }
    }
    printf("It took %d loops.\n", loopCounter);

    return root;
}

/**
* Uses one initial value and gradually takes that value near to the real one.
**/
double NewtonRaphson(){
    double root=0;

    double x1=1;
    double x2=0;

    int loopCounter=0;
    while(1){
        loopCounter++;

        x2 = x1 - (f(x1)/f2(x1));
        /*/printf("%lf \t %lf \n", x2, f(x2));/**////test

        if(f(x2)<0.00001 && f(x2)>-0.00001){
            root=x2;
            break;
        }

        x1=x2;
    }
    printf("It took %d loops.\n", loopCounter);

    return root;
}

/**
* Uses one initial value and gradually takes that value near to the real one.
**/
double FixedPoint(){
    double root=0;
    double x=1;

    int loopCounter=0;
    while(1){
        loopCounter++;

        if( (x-g(x)) <0.00001 && (x-g(x)) >-0.00001){
            root = x;
            break;
        }

        /*/printf("%lf \t %lf \n", g(x), x-(g(x)));/**////test

        x=g(x);
    }
    printf("It took %d loops.\n", loopCounter);

    return root;
}

/**
* uses two initial values & both value approaches to the root.
**/
double Secant(){
    double root=0;

    double x0=1;
    double x1=2;
    double x2=0;

    int loopCounter=0;
    while(1){
        loopCounter++;

        /*/printf("%lf \t %lf \t %lf \n", x0, x1, f(x1));/**////test

        if(f(x1)<0.00001 && f(x1)>-0.00001){
            root=x1;
            break;
        }

        x2 = ((x0*f(x1))-(x1*f(x0))) / (f(x1)-f(x0));

        x0=x1;
        x1=x2;
    }
    printf("It took %d loops.\n", loopCounter);

    return root;
}


int main(){
    double root;

    root = BisectionMethod();
    printf("Using Bisection Method the root is: %lf \n\n", root);
    
    root = FalsePosition();
    printf("Using False Position Method the root is: %lf \n\n", root);
    
    root = NewtonRaphson();
    printf("Using Newton-Raphson Method the root is: %lf \n\n", root);
    
    root = FixedPoint();
    printf("Using Fixed Point Method the root is: %lf \n\n", root);
    
    root = Secant();
    printf("Using Secant Method the root is: %lf \n\n", root);

    return 0;
}