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무차별 공격 알고리즘

모든 정점을 통과하는 경로는 정점을 어떤 식 으로든 정렬하는 것과 동일합니다. 따라서 모든 꼭지점을 통과하는 최소 비용을 정확히 한 번 계산하기 위해 N! 1 에서 N 까지의 수의 순열.

가짜 코드

minimum = INF
for all permutations P

    current = 0                                

    for i from 0 to N-2
        current = current + cost[P[i]][P[i+1]]  <- Add the cost of going from 1 vertex to the next
    
    current = current + cost[P[N-1]][P[0]]      <- Add the cost of going from last vertex to the first

    if current < minimum                        <- Update minimum if necessary
        minimum = current
    
output minimum

시간 복잡성

N! 이 있습니다 N! 순열이 진행되고 각 경로의 비용이 O(N) 에서 계산되므로이 알고리즘은 정답을 출력하기 위해 O(N * N!) 시간이 필요합니다.

동적 프로그래밍 알고리즘

경로를 (순서대로) 고려하면 다음과 같습니다.

(1,2,3,4,6,0,5,7)

와 경로

(1,2,3,5,0,6,7,4) 

정점에서가는 비용 1 정점 2 정점에 3 동일하게 유지, 그래서 왜 다시 계산해야합니까? 이 결과는 나중에 사용하기 위해 저장할 수 있습니다.

dp[bitmask][vertex] 는 비트 bitmask 의 해당 비트가 vertex 에서 끝나는 1 로 설정된 모든 정점을 통과하는 최소 비용을 나타냅니다. 예 :

dp[12][2] 

   12   =   1 1 0 0
            ^ ^ 
vertices:   3 2 1 0

12 는 이진수로 1100 을 나타내므로 dp[12][2] 는 그래프에서 정점 2에서 끝나는 경로를 통해 정점 2 와 3 을 통과하는 것을 나타냅니다.

따라서 우리는 다음과 같은 알고리즘을 가질 수 있습니다 (C ++ 구현).

int cost[N][N];                        //Adjust the value of N if needed
int memo[1 << N][N];                   //Set everything here to -1
int TSP(int bitmask, int pos){
    int cost = INF;
    if (bitmask == ((1 << N) - 1)){      //All vertices have been explored
        return cost[pos][0];             //Cost to go back
    }
    if (memo[bitmask][pos] != -1){       //If this has already been computed
        return memo[bitmask][pos];       //Just return the value, no need to recompute
    }
    for (int i = 0; i < N; ++i){         //For every vertex 
        if ((bitmask & (1 << i)) == 0){  //If the vertex has not been visited
            cost = min(cost,TSP(bitmask | (1 << i) , i) + cost[pos][i]);   //Visit the vertex
        } 
    }
    memo[bitmask][pos] = cost;           //Save the result
    return cost;
}
//Call TSP(1,0)

이 줄은 조금 혼란 스러울 수 있으므로 천천히 살펴보십시오.

cost = min(cost,TSP(bitmask | (1 << i) , i) + cost[pos][i]);

여기, bitmask | (1 << i) 는 비트 bitmask 의 i 번째 비트를 1로 설정하는데, 이는 i 번째 꼭지점이 방문되었음을 나타냅니다. 쉼표 다음의 i 는 새로운 "마지막"버텍스를 나타내는 함수 호출에서 새로운 pos 를 나타냅니다. cost[pos][i] 는 정점 pos 에서 정점 i 까지의 이동 비용을 더하는 것입니다.

따라서이 라인은 방문한 적이없는 다른 모든 정점으로 이동할 수있는 최소 값으로 cost 값을 업데이트하는 것입니다.

시간 복잡성

함수 TSP(bitmask,pos) 보유 2^N 대한 값은 bitmask 및 N 값 pos . 각 함수는 O(N) 시간 동안 실행됩니다 ( for 루프). 따라서이 구현은 정답을 출력하기 위해 O(N^2 * 2^N) 시간이 필요합니다.