MATLAB Language
フーリエ変換および逆フーリエ変換

構文

1. Y = fft（X）％は、ベクトルまたは行列XのFFTを、デフォルトのTransform Length 256（バージョンの確認が必要）を使用して計算します。

2. Y = fft（X、n）％は、Transform Lengthとしてnを使用するXのFFTを計算します.nは2乗に基づく数値でなければなりません。 Xの長さがnより小さい場合、MatlabはXに自動的に0を埋め込み、length（X）= n

3. Y = fft（X、n、dim）％は、次元dimに沿ってTransform Lengthとしてnを使用してXのFFTを計算します（水平または垂直それぞれ1または2になります）

4. Y = fft2（X）％Xの2D FFTを計算する

5. Y = fftn（X、dim）％次元のベクトルに対してdimの次元FFTを計算する。

6. y = ifft（X）％は、デフォルトの256のTransform Lengthを使って、XのFFTの逆数（これは行列の数/ベクトルです）を計算します

7. y = ifft（X、n）％は、Transform Lengthとしてnを使用してXのIFFTを計算します。

8. y = ifft（X、n、dim）％は、次元dimに対してTransform Lengthとしてnを使用してXのIFFTを計算します（それぞれ水平または垂直に対して1または2になります）

9. y = ifft（X、n、dim、 'symmetric'）％Symmetricオプションは、Xをアクティブ次元に沿って共役対称として扱うifftを引き起こします。このオプションは、Xが正確に共役対称でない場合に便利です。丸め誤差のためだけです。

10. y = ifft2（X）％Xの逆2次元ftを計算する

11. y = ifftn（X、dim）％Xの逆dim次元fftを計算します。

パラメーター

備考

ifft(fft(X)) = X

Matlabで簡単なフーリエ変換を実装する

フーリエ変換はおそらくデジタル信号処理の最初の教訓です。アプリケーションはどこにでもあり、データ（すべてのセクタ）や信号を分析する際には強力なツールです。 Matlabには、フーリエ変換用の強力なツールボックスが用意されています。この例では、フーリエ変換を使用して基本正弦波信号を解析し、時々FFTを使用してピリオドグラムと呼ばれるものを生成します。

%Signal Generation
A1=10;                % Amplitude 1
A2=10;                % Amplitude 2
w1=2*pi*0.2;          % Angular frequency 1
w2=2*pi*0.225;        % Angular frequency 2
Ts=1;                 % Sampling time
N=64;                 % Number of process samples to be generated
K=5;                  % Number of independent process realizations
sgm=1;                % Standard deviation of the noise
n=repmat([0:N-1].',1,K);             % Generate resolution
phi1=repmat(rand(1,K)*2*pi,N,1);     % Random phase matrix 1
phi2=repmat(rand(1,K)*2*pi,N,1);     % Random phase matrix 2
x=A1*sin(w1*n*Ts+phi1)+A2*sin(w2*n*Ts+phi2)+sgm*randn(N,K);   % Resulting Signal

NFFT=256;            % FFT length
F=fft(x,NFFT);       % Fast Fourier Transform Result
Z=1/N*abs(F).^2;     % Convert FFT result into a Periodogram

Discrete Fourier TransformはMatlabの高速フーリエ変換（fft）によって実装され、どちらも同じ結果が得られますが、FFTはDFTの高速実装です。

figure
w=linspace(0,2,NFFT);
plot(w,10*log10(Z)),grid;
xlabel('w [\pi rad/s]')
ylabel('Z(f) [dB]')
title('Frequency Range: [ 0 ,  \omega_s ]')

逆フーリエ変換

フーリエ変換の大きな利点の1つは、情報を失うことなく時間領域に逆戻りする能力です。前述の例で使用したのと同じ信号を考えてみましょう。

A1=10;                % Amplitude 1
A2=10;                % Amplitude 2
w1=2*pi*0.2;          % Angular frequency 1
w2=2*pi*0.225;        % Angular frequency 2
Ts=1;                 % Sampling time
N=64;                 % Number of process samples to be generated
K=1;                  % Number of independent process realizations
sgm=1;                % Standard deviation of the noise
n=repmat([0:N-1].',1,K);             % Generate resolution
phi1=repmat(rand(1,K)*2*pi,N,1);     % Random phase matrix 1
phi2=repmat(rand(1,K)*2*pi,N,1);     % Random phase matrix 2
x=A1*sin(w1*n*Ts+phi1)+A2*sin(w2*n*Ts+phi2)+sgm*randn(N,K);   % Resulting Signal

NFFT=256;            % FFT length
F=fft(x,NFFT);       % FFT result of time domain signal

MatlabでFを開くと、それは複素数の行列、実数部と虚数部であることがわかります。定義上、元のタイム・ドメイン信号を回復するには、Real（マグニチュード・バリエーションを表す）とImaginary（フェーズ・バリエーションを表す）の両方が必要なので、タイム・ドメインに戻るには、

TD = ifft(F,NFFT);   %Returns the Inverse of F in Time Domain

私たちがNFFTを256に設定しているので返されるTDは長さ256になりますが、xの長さは64にすぎないので、MatlabはTD変換の最後に0を埋め込みます。たとえば、NFFTが1024で長さが64の場合、返されるTDは64 + 960のゼロになります。また、浮動小数点の丸めのために、3.1 * 10e-20のようなものが得られるかもしれないが、一般的な目的のために：任意のXに対して、ifft（fft（X））は丸め誤差内のXに等しい。

変換を行った後、私たちは何かをしただけで、FFTの本当の部分が残っていると言いましょう。

R = real(F);         %Give the Real Part of the FFT
TDR = ifft(R,NFFT);  %Give the Time Domain of the Real Part of the FFT

これは、FFTの虚数部分を失っていることを意味し、したがって、この逆のプロセスで情報を失いつつあります。情報を失うことなくオリジナルを保存するには、 imagを使用してFFTの虚数部を保持し、関数を実部または実部のいずれかに適用する必要があります。

figure
subplot(3,1,1)
plot(x);xlabel('time samples');ylabel('magnitude');title('Original Time Domain Signal')
subplot(3,1,2)
plot(TD(1:64));xlabel('time samples');ylabel('magnitude');title('Inverse Fourier Transformed - Time Domain Signal')
subplot(3,1,3)
plot(TDR(1:64));xlabel('time samples');ylabel('magnitude');title('Real part of IFFT transformed Time Domain Signal')

画像と多次元FT

医用画像、分光、画像処理、暗号、および科学技術の他の分野では、画像の多次元フーリエ変換を計算することがしばしば望ましい。結局のところ、（多次元の）多次元画像はn次元の行列であり、フーリエ変換は線形演算子です。他の次元に沿ったフーリエ変換だけです。 MATLABが提供fft2およびifft2 2次元でこれを行うために、又はfftn N次元で。

1つの潜在的な落とし穴は、画像のフーリエ変換は、通常、「中心の順序付け」、すなわち画像の中央にk空間の原点が示されていることである。 Matlabはフーリエ変換のDC成分の位置を適切に入れ替えるためのfftshiftコマンドを提供します。この順序記法は、一般的な画像処理技術を実行することを実質的により容易にし、その1つを以下に示す。

ゼロ充填

小さい画像をより大きなサイズに補間する「速​​くて汚い」方法の1つは、フーリエ変換し、フーリエ変換をゼロで埋め込み、次いで逆変換を行うことである。これは、各画素間で、シンク形状の基底関数を効果的に補間し、一般に、低解像度医用画像データをアップスケールするために使用される。組み込みの画像の例を読み込んでみましょう

%Load example image 
I=imread('coins.png'); %Load example data -- coins.png is builtin to Matlab 
I=double(I); %Convert to double precision -- imread returns integers 
imageSize = size(I); % I is a 246 x 300 2D image

%Display it
imagesc(I); colormap gray; axis equal; 
%imagesc displays images scaled to maximum intensity

fftshiftが何をするかを説明するために、2つの方法を比較しましょう：

% Fourier transform 
%Obtain the centric- and non-centric ordered Fourier transform of I
k=fftshift(fft2(fftshift(I))); 
kwrong=fft2(I); 

%Just for the sake of comparison, show the magnitude of both transforms: 
figure; subplot(2,1,1); 
imagesc(abs(k),[0 1e4]); colormap gray; axis equal; 
subplot(2,1,2); 
imagesc(abs(kwrong),[0 1e4]); colormap gray; axis equal;
%(The second argument to imagesc sets the colour axis to make the difference clear). 

我々は、例示的な画像の2D FTを得た。これをゼロ充填するために、各k空間を取り、エッジを0で埋め込み、バックトランスフォームを取ります。

%Zero fill
kzf = zeros(imageSize .* 2); %Generate a  492x600 empty array to put the result in 
kzf(end/4:3*end/4-1,end/4:3*end/4-1) = k; %Put k in the middle 
kzfwrong = zeros(imageSize .* 2); %Generate a  492x600 empty array to put the result in 
kzfwrong(end/4:3*end/4-1,end/4:3*end/4-1) = kwrong; %Put k in the middle 

%Show the differences again 
%Just for the sake of comparison, show the magnitude of both transforms: 
figure; subplot(2,1,1); 
imagesc(abs(kzf),[0 1e4]); colormap gray; axis equal; 
subplot(2,1,2); 
imagesc(abs(kzfwrong),[0 1e4]); colormap gray; axis equal;
%(The second argument to imagesc sets the colour axis to make the difference clear). 

この時点では、結果はかなり目立たない：

逆変換を行うと、（正しく！）ゼロ充填データがわかりやすい補間方法を提供することがわかります。

% Take the back transform and view 
Izf = fftshift(ifft2(ifftshift(kzf))); 
Izfwrong = ifft2(kzfwrong);

figure; subplot(1,3,1); 
imagesc(abs(Izf)); colormap gray; axis equal; 
title('Zero-filled image'); 
subplot(1,3,2); 
imagesc(abs(Izfwrong)); colormap gray; axis equal;
title('Incorrectly zero-filled image'); 
subplot(1,3,3); 
imagesc(I); colormap gray; axis equal; 
title('Original image'); 
set(gcf,'color','w'); 

ゼロ充填画像サイズは元の画像サイズの2倍です。明らかにそうしてもイメージのサイズは任意に増やされるわけではありませんが、各次元で2の倍以上でゼロを塗りつぶすことができます。

ヒント、ヒント、3D、それ以降

上記の例では、（多くの場合、例えば、医療用画像化技術または共焦点顕微鏡によって生成された）3D画像にも当てはまるが、必要fft2によって置換されるfftn(I, 3)例えば、。 fftshift(fft(fftshift(...何回か）、 fft2cなどの関数をローカルで簡単に定義できるようにするのはかなり一般的です。

function y = fft2c(x)

y = fftshift(fft2(fftshift(x)));

FFTは高速ですが、大規模で多次元のフーリエ変換は現代のコンピュータではまだ時間がかかることに注意してください。それはさらに本質的に複雑です.k空間の大きさは上に示されていますが、位相は絶対に重要です。画像領域における平行移動は、フーリエ領域における位相傾斜と等価である。フーリエ領域では、高空間周波数または低空間周波数をフィルタリングする（フィルタに掛ける）か、ノイズに対応する離散点をマスクするなど、はるかに複雑な操作がいくつかあります。これに対応して、Matlabの主要コミュニティリポジトリサイトであるFile Exchangeで利用可能な共通フーリエ演算を処理するためのコミュニティ生成コードが大量に存在します。