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Coupe de tige

Couper la tige pour obtenir le maximum de profit

Étant donné une tige de longueur n pouces et un tableau de longueur m de prix qui contient les prix de toutes les pièces de taille inférieure à n. Nous devons trouver la valeur maximale pouvant être obtenue en coupant la tige et en vendant les pièces. Par exemple, si la longueur de la tige est de 8 et que les valeurs des différentes pièces sont données comme suit, la valeur maximale pouvant être obtenue est de 22 .

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 (price)| 1 | 5 | 8 | 9 | 10| 17| 17| 20|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+

Nous utiliserons un tableau 2D dp [m] [n + 1] où n est la longueur de la tige et m la longueur du tableau de prix. Pour notre exemple, nous aurons besoin de dp [8] [9] . Ici, dp [i] [j] dénotera le prix maximum en vendant la tige de longueur j. Nous pouvons avoir la valeur maximale de la longueur j dans son ensemble ou nous aurions pu briser la longueur pour maximiser le profit.

Au début, pour la 0ème colonne, il ne contribuera à rien, marquant ainsi toutes les valeurs comme 0. Toutes les valeurs de 0ème colonne seront donc 0. Pour dp [0] [1] , quelle est la valeur maximale que nous pouvons obtenir? vente tige de longueur 1.Il sera 1.Similairement pour la tige de longueur 2 dp [0] [2] nous pouvons avoir 2 (1 + 1) .Cela continue jusqu'à dp [0] [8] .Alors après la première itération notre tableau dp [] ressemblera.

      +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (price)| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (1) 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (5) 2 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (8) 3 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (9) 4 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (10) 5 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (17) 6 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (17) 7 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (20) 8 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+

Pour dp [2] [2] nous devons nous demander ce que je peux obtenir de mieux si je casse la tige en deux morceaux (1,1) ou si l’on prend la tige en entier (longueur = 2). que si je casse la tige en deux morceaux, le maximum de profit que je puisse faire est de 2 et si j'ai la tige dans son ensemble, je peux la vendre pour 5. Après la deuxième itération, le tableau dp [] ressemblera à:

     +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (price)| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (1) 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (5) 2 | 0 | 1 | 5 | 6 | 10| 11| 15| 16| 20|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (8) 3 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (9) 4 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (10) 5 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (17) 6 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (17) 7 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (20) 8 | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ 

Donc, pour calculer dp [i] [j], notre formule ressemblera à:

if j>=i
    dp[i][j] = Max(dp[i-1][j], price[i]+arr[i][j-i]);
else
    dp[i][j] = dp[i-1][j];

Après la dernière itération, notre tableau dp [] ressemblera à

       +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (price)| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (1) 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 |
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (5) 2 | 0 | 1 | 5 | 6 | 10| 11| 15| 16| 20|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (8) 3 | 0 | 1 | 5 | 8 | 10| 13| 16| 18| 21|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
  (9) 4 | 0 | 1 | 5 | 8 | 10| 13| 16| 18| 21|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (10) 5 | 0 | 1 | 5 | 8 | 10| 13| 16| 18| 21|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (17) 6 | 0 | 1 | 5 | 8 | 10| 13| 17| 18| 22|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (17) 7 | 0 | 1 | 5 | 8 | 10| 13| 17| 18| 22|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
 (20) 8 | 0 | 1 | 5 | 8 | 10| 13| 17| 18| 22|
        +---+---+---+---+---+---+---+---+---+

Nous aurons le résultat à dp [n] [m + 1] .

Implémentation en Java

public int getMaximumPrice(int price[],int n){
        int arr[][] = new int[n][price.length+1];
        
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<price.length+1;j++){
                if(j==0 || i==0)
                    arr[i][j] = 0;
                else if(j>=i){
                    arr[i][j] = Math.max(arr[i-1][j], price[i-1]+arr[i][j-i]);
                }else{
                    arr[i][j] = arr[i-1][j];
                }
            }
        }
        return arr[n-1][price.length];
    }

La complexité du temps

O(n^2)