algorithm
最大パス・サム・アルゴリズム

最大パスの総和基本情報

Maximum Path Sumは、そのパスの要素（ノード）の合計が他のどのパスよりも大きくなるようなパスを見つけるアルゴリズムです。

たとえば、次のような三角形を作ってみましょう。

        3
      7   4
    2   4   6
  8   5   9   3

上の三角形では、最大合計を持つ最大パスを見つける。答えは、 3 + 7 + 4 + 9 = 23

解決策を見つけるために、いつものように我々はBrute-Force法の考え方を得る。 Brute-Force法はこの4行の三角形には適していますが、100行または100行以上の三角形について考えることができます。だから、この問題を解決するためにBrute-Force法を使うことはできません。

ダイナミックプログラミングのアプローチに移りましょう。

アルゴリズム：

三角形またはバイナリツリーの各ノードごとに、最大パスがノードを通過する4つの方法があります。

1. ノードのみ
2. Left Child + Nodeを通る最大パス
3. 右の子とノードの間の最大経路
4. 左チャイルド+ノード+右パスの最大パスまでの最大パス。

最大パス・サム・アルゴリズムの例：

スペース補助： O(n)
時間の複雑さ： O(n)

C＃の実装

public class Node
{

    public int Value;
    public Node Left, Right;

    public Node(int item)
    {
        Value = item;
        Left = Right = null;
    }
}

class Res
{
    public int Val;
}

public class MaximumPathSum
{
    Node _root;
    int FindMaxUtil(Node node, Res res)
    {
        if (node == null) return 0;
        int l = FindMaxUtil(node.Left, res);
        int r = FindMaxUtil(node.Right, res);
        int maxSingle = Math.Max(Math.Max(l, r) + node.Value, node.Value);
        int maxTop = Math.Max(maxSingle, l + r + node.Value);
        res.Val = Math.Max(res.Val, maxTop);
        return maxSingle;
    }

    int FindMaxSum()
    {
        return FindMaxSum(_root);
    }

    int FindMaxSum(Node node)
    {
        Res res = new Res {Val = Int32.MinValue};
        FindMaxUtil(node, res);
        return res.Val;
    }

    public static int Main()
    {
        MaximumPathSum tree = new MaximumPathSum
        {
            _root = new Node(10)
            {
                Left = new Node(2),
                Right = new Node(10)
            }
        };
        tree._root.Left.Left = new Node(20);
        tree._root.Left.Right = new Node(1);
        tree._root.Right.Right = new Node(-25)
        {
            Left = new Node(3),
            Right = new Node(4)
        };
        return tree.FindMaxSum();
    }
}