algorithm
高速フーリエ変換

前書き

基数2のFFT

FFTを計算するための最も単純でおそらく最もよく知られている方法は、Radix-2 Decimation in Timeアルゴリズムです。基数2のFFTは、N点の時間領域信号をN個の時間領域信号に分解し、それぞれが単一の点 。

信号分解または '時間の間引き（decimation in time）'は、時間領域データの配列のインデックスをビット反転することによって達成される。したがって、16ポイントの信号の場合、サンプル1（バイナリ0001）はサンプル8（1000）とスワップされ、サンプル2（0010）は4（0100）とスワップされ、以下同様に続きます。ビット反転技法を使用するサンプル交換は、ソフトウェアで簡単に達成することができるが、基数N = 2 ^ Mの信号への基数2のFFTの使用を制限する。

時間領域における1点信号の値は、周波数領域におけるその値に等しいので、分解された単一の時間領域点のこの配列は、変換が周波数領域点の配列になることを必要としない。 N個のシングルポイント。しかしながら、1つのN点周波数スペクトルに再構成する必要がある。完全な周波数スペクトルの最適な再構成は、バタフライ計算を使用して実行される。 Radix-2 FFTの各再構成ステージは、同様の指数重み付け関数Wn ^ Rの組を使用して、複数の2点バタフライを実行します。

FFTは、Wn ^ Rの周期性を利用して、離散フーリエ変換の冗長な計算を削除します。 X（K）を与えるlog2（N）段階のバタフライ計算では、スペクトル再構築が完了する。実数および虚数の周波数領域データを長方形の形で表す。大きさと位相（極座標）に変換するには絶対値√（Re2 + Im2）と引数tan-1（Im / Re）を求める必要があります。

8ポイントのRadix 2 FFTの完全なバタフライフロー図を以下に示します。前に概説した時間の間引き手順に従って、入力信号が以前に並べ替えられていることに注意してください。

FFTは通常、複素数入力で動作し、複雑な出力を生成します。実数信号の場合、虚数部分をゼロに設定し、実数部分を入力信号x [n]に設定することができますが、実数のみのデータの変換を含む多くの最適化が可能です。再構成全体を通して使用されるWn ^ Rの値は、指数加重方程式を使用して決定することができる。

R（指数重み付け出力）の値は、特定の蝶内のスペクトル再構成および現在の計算における現在の段階で決定される。

コード例（C / C ++）

基数2のFFTを計算するためのAC / C ++コードサンプルは、以下で見つけることができます。これはNが2の累乗である任意のサイズNに対して機能する単純な実装です。これは最速のFFTw実装より約3倍遅いですが、今後の最適化やこのアルゴリズムの仕組みの学習に非常に適しています。

#include <math.h>

#define PI       3.1415926535897932384626433832795    // PI for sine/cos calculations
#define TWOPI    6.283185307179586476925286766559     // 2*PI for sine/cos calculations
#define Deg2Rad  0.017453292519943295769236907684886  // Degrees to Radians factor
#define Rad2Deg  57.295779513082320876798154814105    // Radians to Degrees factor
#define log10_2  0.30102999566398119521373889472449   // Log10 of 2 
#define log10_2_INV 3.3219280948873623478703194294948 // 1/Log10(2)

// complex variable structure (double precision)
struct complex
{
public:
    double  Re, Im;        // Not so complicated after all
};

// Returns true if N is a power of 2
bool isPwrTwo(int N, int *M)
{
    *M = (int)ceil(log10((double)N) * log10_2_INV);// M is number of stages to perform. 2^M = N
    int NN = (int)pow(2.0, *M);
    if ((NN != N) || (NN == 0)) // Check N is a power of 2. 
        return false;

    return true;
}

void rad2FFT(int N, complex *x, complex *DFT)
{
    int M = 0;

    // Check if power of two. If not, exit        
    if (!isPwrTwo(N, &M))
        throw "Rad2FFT(): N must be a power of 2 for Radix FFT";

    // Integer Variables

    int BSep;                  // BSep is memory spacing between butterflies
    int BWidth;                // BWidth is memory spacing of opposite ends of the butterfly
    int P;                     // P is number of similar Wn's to be used in that stage
    int j;                     // j is used in a loop to perform all calculations in each stage
    int stage = 1;             // stage is the stage number of the FFT. There are M stages in total (1 to M).
    int HiIndex;               // HiIndex is the index of the DFT array for the top value of each butterfly calc 
    unsigned int iaddr;        // bitmask for bit reversal 
    int ii;                    // Integer bitfield for bit reversal (Decimation in Time)
    int MM1 = M - 1;

    unsigned int i;
    int l;
    unsigned int nMax = (unsigned int)N;

    // Double Precision Variables
    double TwoPi_N = TWOPI / (double)N;    // constant to save computational time.  = 2*PI / N
    double TwoPi_NP;

    // complex Variables (See 'struct complex')
    complex WN;               // Wn is the exponential weighting function in the form a + jb
    complex TEMP;             // TEMP is used to save computation in the butterfly calc
    complex *pDFT = DFT;      // Pointer to first elements in DFT array
    complex *pLo;             // Pointer for lo / hi value of butterfly calcs
    complex *pHi;
    complex *pX;              // Pointer to x[n]


    // Decimation In Time - x[n] sample sorting
    for (i = 0; i < nMax; i++, DFT++)
    {
        pX = x + i;             // Calculate current x[n] from base address *x and index i.
        ii = 0;                 // Reset new address for DFT[n]
        iaddr = i;              // Copy i for manipulations
        for (l = 0; l < M; l++) // Bit reverse i and store in ii...
        {
            if (iaddr & 0x01)     // Detemine least significant bit
                ii += (1 << (MM1 - l));    // Increment ii by 2^(M-1-l) if lsb was 1
            iaddr >>= 1;                // right shift iaddr to test next bit. Use logical operations for speed increase
            if (!iaddr)
                break;
        }
        DFT = pDFT + ii;        // Calculate current DFT[n] from base address *pDFT and bit reversed index ii    
        DFT->Re = pX->Re;       // Update the complex array with address sorted time domain signal x[n]
        DFT->Im = pX->Im;       // NB: Imaginary is always zero
    }

    // FFT Computation by butterfly calculation
    for (stage = 1; stage <= M; stage++) // Loop for M stages, where 2^M = N
    {
        BSep = (int)(pow(2, stage)); // Separation between butterflies = 2^stage
        P = N / BSep;             // Similar Wn's in this stage = N/Bsep
        BWidth = BSep / 2;     // Butterfly width (spacing between opposite points) = Separation / 2.

        TwoPi_NP = TwoPi_N*P;

        for (j = 0; j < BWidth; j++) // Loop for j calculations per butterfly
        {
            if (j != 0)              // Save on calculation if R = 0, as WN^0 = (1 + j0)
            {
                //WN.Re = cos(TwoPi_NP*j)
                WN.Re = cos(TwoPi_N*P*j);     // Calculate Wn (Real and Imaginary)
                WN.Im = -sin(TwoPi_N*P*j);
            }

            for (HiIndex = j; HiIndex < N; HiIndex += BSep) // Loop for HiIndex Step BSep butterflies per stage
            {
                pHi = pDFT + HiIndex;                  // Point to higher value
                pLo = pHi + BWidth;                    // Point to lower value (Note VC++ adjusts for spacing between elements)

                if (j != 0)                            // If exponential power is not zero...
                {
                    //CMult(pLo, &WN, &TEMP);          // Perform complex multiplication of Lovalue with Wn
                    TEMP.Re = (pLo->Re * WN.Re) - (pLo->Im * WN.Im);
                    TEMP.Im = (pLo->Re * WN.Im) + (pLo->Im * WN.Re);

                    //CSub (pHi, &TEMP, pLo);
                    pLo->Re = pHi->Re - TEMP.Re;       // Find new Lovalue (complex subtraction)
                    pLo->Im = pHi->Im - TEMP.Im;

                    //CAdd (pHi, &TEMP, pHi);          // Find new Hivalue (complex addition)
                    pHi->Re = (pHi->Re + TEMP.Re);
                    pHi->Im = (pHi->Im + TEMP.Im);
                }
                else
                {
                    TEMP.Re = pLo->Re;
                    TEMP.Im = pLo->Im;

                    //CSub (pHi, &TEMP, pLo);
                    pLo->Re = pHi->Re - TEMP.Re;       // Find new Lovalue (complex subtraction)
                    pLo->Im = pHi->Im - TEMP.Im;

                    //CAdd (pHi, &TEMP, pHi);          // Find new Hivalue (complex addition)
                    pHi->Re = (pHi->Re + TEMP.Re);
                    pHi->Im = (pHi->Im + TEMP.Im);
                }
            }
        }
    }


    pLo = 0;    // Null all pointers
    pHi = 0;
    pDFT = 0;
    DFT = 0;
    pX = 0;
}

基数2の逆FFT

フーリエ変換の強力な二重性のために、順変換の出力を調整することにより、逆FFTを生成することができる。周波数領域のデータは、以下の方法で時間領域に変換できます。

1. Kのすべてのインスタンスについて虚数成分を反転することによって、周波数領域データの複素共役を求める。
2. 共役周波数領域データに対して順方向FFTを実行する。
3. このFFTの結果の各出力をNで除算して、真の時間ドメイン値を与える。
4. nのすべてのインスタンスについて時間領域データの虚数成分を反転させることにより、出力の複素共役を求める。

注 ：周波数と時間領域の両方のデータは複雑な変数です。典型的には、逆FFTに続く時間領域信号の虚数成分はゼロであるか、または丸め誤差として無視される。変数の精度を32ビット浮動小数点数から64ビット倍精度、または128ビット長の倍精度に増加させると、いくつかの連続したFFT演算によって生成される丸め誤差が大幅に減少します。

コード例（C / C ++）

#include <math.h>

#define PI       3.1415926535897932384626433832795    // PI for sine/cos calculations
#define TWOPI    6.283185307179586476925286766559     // 2*PI for sine/cos calculations
#define Deg2Rad  0.017453292519943295769236907684886  // Degrees to Radians factor
#define Rad2Deg  57.295779513082320876798154814105    // Radians to Degrees factor
#define log10_2  0.30102999566398119521373889472449   // Log10 of 2 
#define log10_2_INV 3.3219280948873623478703194294948 // 1/Log10(2)

// complex variable structure (double precision)
struct complex
{
public:
    double  Re, Im;        // Not so complicated after all
}; 

void rad2InverseFFT(int N, complex *x, complex *DFT)
{
    // M is number of stages to perform. 2^M = N
    double Mx = (log10((double)N) / log10((double)2));
    int a = (int)(ceil(pow(2.0, Mx)));
    int status = 0;
    if (a != N) // Check N is a power of 2
    {
        x = 0;
        DFT = 0;
        throw "rad2InverseFFT(): N must be a power of 2 for Radix 2 Inverse FFT";
    }

    complex *pDFT = DFT;        // Reset vector for DFT pointers
    complex *pX = x;            // Reset vector for x[n] pointer
    double NN = 1 / (double)N;  // Scaling factor for the inverse FFT        

    for (int i = 0; i < N; i++, DFT++)
        DFT->Im *= -1;          // Find the complex conjugate of the Frequency Spectrum

    DFT = pDFT;                 // Reset Freq Domain Pointer
    rad2FFT(N, DFT, x); // Calculate the forward FFT with variables switched (time & freq)

    int i;
    complex* x;
    for ( i = 0, x = pX; i < N; i++, x++){
        x->Re *= NN;    // Divide time domain by N for correct amplitude scaling
        x->Im *= -1;    // Change the sign of ImX
    }    
}